Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Schaubildes der Funktion f um die x -Achse …

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Schaubildes der Funktion \( f \) um die \( x \)-Achse zwischen \( x=-1 \) und \( x=0 \) entsteht, mit

\( f(x)=\frac{1}{2 \cdot(x+2)} \text {. } \)

\( V= \)

Bitte geben Sie den genauen Wert an.

Problem/Ansatz:

Hey, Ich habe Problem mit der folgenden Aufgabe. Ich habe mit der Aufgabe schon angefangen, aber ich komme nicht weiter. Ich würde mich freuen wenn mir jemand den Lösungsweg zeigen könnte :) Bisher habe ich folgendes:

 \(\begin{array}{l} \displaystyle V=\int \limits_{a}^{b}\left(\pi_{0} \cdot(f(x))^{2}\right) d x \\\\ \displaystyle V=\int \limits_{-1}^{0} \pi \cdot\left(\frac{1}{2 (x+2)}\right)^{2} d x \\\\ \displaystyle V=\pi \int \limits_{-1}^{0} \frac{1}{(2 x+4)^{2}} d x \end{array} \)

Answer 1

\(V=π* \int\limits_{-1}^{0}\frac{1}{(2x+4)^2}*dx=\frac{π}{4}* \int\limits_{-1}^{0}\frac{1}{(x+2)^2}*dx \)

Einschub:

\( \int\limits_{}^{}\frac{1}{(x+2)^2}*dx \)

Substitution: \(x+2=u\)          \(x=u-2\)      \(dx=1*du\)

\( \int\limits_{}^{}\frac{1}{u^2}*du=\int\limits_{}^{}u^{-2}*du=-u^{-1}=-\frac{1}{u}\)

\( \int\limits_{}^{}\frac{1}{(x+2)^2}*dx =-\frac{1}{x+2}\)

\(V=(-\frac{π}{4})*[\frac{1}{0+2}-\frac{1}{-1+2}]=(-\frac{π}{4})*[-\frac{1}{2}] =\frac{π}{8}\)

Answer 2

Aloha :)

Du bist schon auf dem richtigen Weg. Bis hierhin stimmt noch alles:$$V=\int\limits_{-1}^0\pi\left(\frac{1}{2(x+2)}\right)^2dx$$Beim Integrieren hat dann der Fehlerteufel zugeschlagen. Richtig wäre:$$V=\int\limits_{-1}^0\pi\,\frac{1}{4(x+2)^2}=\frac\pi4\int\limits_{-1}^0(x+2)^{-2}\,dx=\frac\pi4\left[\frac{(x+2)^{-1}}{(-1)}\right]_{-1}^0=\frac\pi4\left[-\frac{1}{x+2}\right]_{-1}^0$$$$\phantom{V}=\frac\pi4\left(-\frac12-(-1)\right)=\frac\pi4\cdot\frac12=\frac\pi8$$

Comments

vielen Dank :)

Answer 3

$$\int \limits_{-1}^{0} \pi \cdot\left(\frac{1}{2 \cdot(x+2)}\right)^{2} d x=\frac{\pi}{8}$$