Kann M daher eine Basis von V sein?

Question

Sei V der Vektorraum der konvergenten Folgen N → R. Beweise: Die Abbildungen

f : V → V : (a_i)i∈N → (lim_i→∞ ai, a0, a1, . . .) und g : V → V : (a_i)i∈N → (0, a0, a1,.)

sind linear, voneinander verschieden und leisten dennoch auf der unendlichen Menge M :={(δn0, δn1, . . .) | n ∈ N} dasselbe. Kann M daher eine Basis von V sein?

Also bzgl der Linearität müsste ich das zeigen, denke ich: Sei x,y ∈ R dann zeige ich f(x*(a_i)) + y*(b_i)) = x*f((a_i)) + y*f((b_i)), das gleiche für g. Aber wie kann ich jetzt darüber nachdenken bzw zeigen wie die Bilder der Elemente von M unter f und g aussehen, halt dasselbe leisten?

Bzgl der Frage, ob M eine Basis sein kann, habe ich folgende Vermutung: Nun ja, wäre M eine Basis, dann kann man jede Folge als Linearkombination betrachten, und mit der Linearität der Funktionen daraus schließen, dass für alle Linearkombinationen gilt, dass die Funktionswerte der beiden Funktionen übereinstimmen. Und das ist ein Widerspruch.

Bin mir aber nicht sicher

Könnte mir jemand helfen?

Answer 1

Da f und g auf M dasselbe Ergebnis liefern, kann M nicht als Basis für V dienen, da eine Basis einer linearen Abbildung immer einmalig abbildet.

Um zu zeigen, dass M keine Basis von V ist, müssen wir zeigen, dass es für jeden Vektor (a_i) in V unendlich viele Möglichkeiten gibt, ihn als Linearkombination von Vektoren in M darzustellen.