Aufgabe:
\( X \) und \( Y \) sind zwei Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \). Die Zufallsvariable \( X \) nimmt nur die Werte 2,3,4 und 6, \( Y \) nur die Werte \( y=1 \) und \( y=2 \) an. Außerdem:
\(P(X=2 \mid Y=1)=P(X=4 \mid Y=2)=\frac{3}{4} \text { und } P(X=3 \mid Y=1)=P(X=6 \mid Y=2)=\frac{1}{4}\)
Sonst: \( P(X=x \mid Y=y)=0 \).
(a) Bestimme die Funktion \( g(y)=E[X \mid Y=y] \).
(b) Zusätzlich für \( Y \),
\(P(Y=1)=\frac{1}{8}, \quad P(Y=2)=\frac{7}{8} .\)
Gib mittels (a) die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable \( g(Y)=E[X \mid Y] \) an.
Problem/Ansatz:
(a) Hier habe ich folgende Formel gefunden und verwendet:
\( E[X \mid A]:=\sum \limits_{x \in X} x \cdot P(X=x \mid A) \) \( =2 \cdot \frac{3}{4}+3 \cdot \frac{1}{4}+4: \frac{3}{4}+6 \cdot \frac{1}{4}=6,75\)
Passt das so?
(b) Hier hätte ich folgendes gerechnet. Allerdings bin ich mir nicht sicher ob das so passt.
\(P^{X |Y=y}(x)=\frac{P(X=x, Y=y)}{P(Y=y)}\)
\(P^{X |Y=1}(2)=\frac{P(X=2, Y=1)}{P(Y=1)}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}}=\frac{3 \cdot 8}{4}= 6 \)
\(P^{X |Y=1}(3)=\frac{P(X=3, Y=1)}{P(Y=1)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{8}}=\frac{8}{4}=2 \)
\(P^{X | Y=2}(4)=\frac{P(X=4, Y=2)}{P(K=2)}=\frac{\frac{3}{4}}{ \frac{7}{8}}=\frac{3\cdot8}{4 \cdot 7}=\frac{24}{21}=\frac{8}{7} \)
\(P^{X |Y=2}(6) =\frac{P(X=6, Y=2)}{P(Y=2)}=\frac{\frac{1}{4}} {\frac{7}{8}}=\frac{8}{4\cdot7}=\frac{2}{7} \)
