ich befasse mich derzeit mit bedingten Erwartungswerten. Leider habe ich einige Verständnisprobleme, deshalb wollte ich hier einmal in die offene Runde Fragen, ob es ein freiwilliger erklären möchte. Mir geht es dabei vor allem um die Bedingung im Erwartungswert, nehmen wir die Menge (a,b) an, weil es die einzige Menge ist welche die sigma Algebra von X beinhaltet?
Wir haben folgende Aufgabe in unseren Tutorien besprochen:
Aufgabe:Consider a finite probability space of four elements, \( \Omega=\{a, b, c, d\} . \) The \( \sigma \) -algebra \( \mathcal{F} \) is the set of all subsets of \( \Omega . \) We define a probability measure \( \mathbb{P} \) on \( (\Omega, \mathcal{F}) \) by
\( \mathbb{P}(a)=\frac{1}{6}, \quad \mathbb{P}(b)=\frac{1}{3}, \quad \mathbb{P}(c)=\mathbb{P}(d)=\frac{1}{4} \)
We define two random variables \( X \) and \( Y \) by
\( \begin{array}{l} X(a)=X(b)=1, X(c)=X(d)=-1 \\ Y(a)=Y(c)=1, Y(b)=Y(d)=-1 \end{array} \)
We will define a third random variable \( Z=X+Y \).
1. List the sets in \( \sigma(X) \).
2. Compute \( \mathbb{E}[Y \mid X](\omega) \) for all \( \omega \in \Omega \). You should check that the partial averaging property, that \( \int \limits_{A} \mathbb{E}[Y \mid X](\omega) \mathbb{P}(\mathrm{d} \omega)=\int \limits_{A} Y(\omega) \mathbb{P}(\mathrm{d} \omega), \) holds for all sets \( A \in \sigma(X) \)
Lösung:
\( \mathbb{E}[Y \mid X](a)=\mathbb{E}[Y \mid\{a, b\}]=1 \cdot \frac{1}{6}+(-1) \cdot \frac{1}{3}=-\frac{1}{3} \)
Weshalb nimmt man hier nicht an, dass X=X(a)?
\( \mathbb{E}[Y \mid X](c)=\mathbb{E}[Y \mid\{c, d\}]=1 \cdot \frac{1}{4}+(-1) \cdot \frac{1}{4}=0 \)
Hier wieder die selbe Frage mit dem c.
Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen.
