Zeige Summe 1/a kleiner unendlich mit Bedingungen

Question

Aufgabe:

Sei A die Menge aller ℕ, jedoch nur die Zahlen, bei denen in der Dezimaldarstellung die ,,1“ nicht enthalten ist.

Nun muss ich beweisen: ∑_a∈A (1/a) < ∞

Als Tipp wurde angegeben, man soll sich A(i) so definieren, dass es die Menge aller i-stelligen natürlichen Zahlen ohne die Eins ist. Dann soll ich deren Mächtigkeit bestimmen und abschätzen was die Größe der Kehrwerte von den Elementen von A(i) ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider überhaupt keine Idee bzw einen Ansatz wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Das sagt mir alles gar nichts und das Skript hilft auch nicht weiter.

Kann mir bitte jemand helfen? Dankeschön!

Comments

Schau mal unter Kempner-Reihen nach.

Answer 1

Überlege dir, was die folgenden Ausdrücke ergeben und wie du dann die Summe jeweils abschätzen kannst

|A(1)| = ...

|A(2)| = ...

|A(3)| = ...

|A(4)| = ...

Comments

Dankeschön!

Ich verstehe eben die Notation nicht, was ist denn A(1)?

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A(1) ist die Menge aller natürlicher, einstelliger Zahlen welche die Ziffer 1 nicht enthalten, also {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.