lineare Abbildung (Abbildungsmatrix)

Question

Hallo alle!

Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung

Aufgabe:

a) Seien
\( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4},\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} x-2 y+z \\ z-x \\ y+2 z-x \\ x+y \end{array}\right) \)
und
\( g: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R},\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \\ d \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{llll} -2 & 1 & 0 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \\ d \end{array}\right) \)
zwei lineare Abbildungen. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von \( f \) und, falls möglich, die Abbildungsmatrix von \( g \circ f \).

Problem/Ansatz:

Ich habe hier einen Ansatz formuliert, aber ich weiß nicht, ob dieser stimmt. In der Vorlesung sind wir auch so vorgegangen. Ich war mir nicht sicher, ob G eine Abbildungsmatrix ist oder nicht. Könnt ihr mir bitte eine Rückmeldung geben und ggf. meine Fehler korrigieren. Ich bin echt verwirrt, was die Aufgabe anbelangt.

a) Seien
\( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4},\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ z \end{array}\right) \leftrightarrow\left(\begin{array}{c} x-2 y+z \\ z-x \\ y+2 z-x \\ x+y \end{array}\right) \)
und
zwei lineare Abbildungen. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von \( f \) und, falls möglich, die Abbildungsmatrix von \( g \circ f \).
\( \begin{array}{l} \beta_{1}=\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right\} \\ \beta_{2}=\{(1,0)\} \\ B_{3}=\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right\} \\ f\left(\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]_{\beta_{1}}\right)=f\left(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)=\left[\begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]_{\beta_{4}} \\ f\left(\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right]_{B_{1}}\right)=f\left(\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)=\left[\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]_{B_{4}} \\ f\left(\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]_{B_{1}}\right)=f\left(\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) B_{4} \\ F_{B_{4}}^{B_{1}}=\left(\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \\ G_{B_{3}}^{B_{1}}=\left(\begin{array}{llll} -2 & 1 & 0 & -2 \end{array}\right) \\ G \cdot F=\left(\begin{array}{llll} -2 & 1 & 0 & -2 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} -5 & -6 & -1 \end{array}\right) \\ \underbrace{1 \times 4}_{1 \times 3} \\ \end{array} \)

Answer 1

(a)

Du musst nur die Koeffizienten geordnet nach den Variablen \(x,y,z\) ablesen:

$$A \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} x-2 y+z \\ z-x \\ y+2 z-x \\ x+y \end{array}\right)\Rightarrow A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

(b) Multipliziere den Zeilenvektor von links an A.

Comments

Ich merke gerade, dass ich nicht die vollständige Aufgabenstellung hochgeladen habe, sry dafür. So sieht sie aus:

Seien

\( f \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4}\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \longmapsto\left(\begin{array}{c}x-2 y+z \\ z-y\\ y+2 z-x \\ x+y\end{array}\right) \)
\( g: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}\left(\begin{array}{c}a \\ d \\ d\end{array}\right) \longmapsto\left(\begin{array}{llll}-2 & 1 & 0 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a \\ b \\ c\end{array}\right) \)

zwei lineare Abbildungen. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von f und, falls möglich, die Abbildungsmatrix von g ◦ f.

---

Meine Matrix A bleibt trotzdem die Abbildungsmatrix von f.

---

Die Aufgabenstellung wurde nicht vollständig in Textform umgewandelt. Daher nochmal die vollständige und richtige Aufgabenstellung:

\( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4},\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}x-2 y+z \\ z-x \\ y+2 z-x \\ x+y\end{array}\right) \)
\( g: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R},\left(\begin{array}{l}a \\ b \\ c \\ d\end{array}\right) \mapsto(-2 \quad 1 \quad 0 \quad-2)\left(\begin{array}{l}a \\ b \\ c \\ d\end{array}\right) \)

Achso, bleibt's gleich? Dann rechne ich das schnell mal erneut.

Und was meinst du mit Zeilenvektor genau? Welchen Vektor meinst du?

---

Und was soll das ganze β- und B-Zeugs - B4?

---

Das sind die Basisvektoren. Meine Datei konnte nicht gut in Textform umgewandelt werden, die Notationen sehen leider komisch aus.

---

Es müssten schon genau die gewünschten Basen der Räume angegeben werden, wenn man die Abbildungsmatrix bzgl. anderer Basen als der kanonischen haben will.

---

Nicht unbedingt. Wenn hier keine Basen angegeben sind, dann dürfen wir mit Standardbasen rechnen. In dem Fall sind ja die Basen nicht gegeben, deswegen habe ich mit Standardbasen gerechnet.

Und so sieht`s dann aus (habe den Zeilenvektor von links an A multipliziert):

\( \begin{aligned} G \cdot F= & \left(\begin{array}{llll}-2 & 1 & 0 & -2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}-5 & -6 & -1\end{array}\right) \\ & 1 \times 4\end{aligned} \)

---

Sieht fast gut aus. In der Mitte des Ergebnisvektors muss 2 statt -6 stehen.

---

Stimmt, vielen vielen Dank :)

Sonst muss ich nichts mehr machen, oder?

---

Nö. Alles schick so.

---

Super, vielen Dank!