Zeigen sie , dass die Reihe ∑(von n=1 bis ∞ ) 1 / (n* (n+1) *( n+2)) konvergiert und bestimmen Sie ihre Summe.

Question

Aufgabe: Zeigen sie , dass die Reihe ∑(von n=1 bis ∞ ) 1 / (n* (n+1) *( n+2)) konvergiert und bestimmen Sie ihre Summe.

Problem/Ansatz: Wie zeige ich dass die Reihe konvergiert und wie bestimme ich ihre Summe?

Wann genau konvergiert eine Reihe  ?

Konvergiert eine Reihe wenn sie einen Grenzwert hat ?

Mein Ansatz sieht so aus :

lim n-> unendlich  :    1/ (n* (n+1) * (n+2) ) = 1 /( n^3 * 3n^2 +2n)

 1/n^3 konvergiert gegen 0 für n-> unendlich

Aber wenn ich mit dem Quotientenkriterium arbeite kommt folgendes heraus :

lim n-> unendlich : (1/( (n+1) * (n+2) *(n+3)) ) / 1 /(( n* (n+1)* (n+2) )  =  n / ((n+3))

und n/ ((n+3) konvergiert gegen 1

und somit gibt es keine Aussage für die Konvergenz der Reihe .

Vielen Dank im Voraus

Comments

Diese Frage wird immer wieder gestellt. Eine Antwort darauf gibt's hier.

Answer 1

Die Partialbruchzerlegung liefert$$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2})$$Bei der Berechnung der Partialsummen der Reihe beachte die

"Teleskopsummen"-Effekte.

Comments

Können sie das ganze bisschen genauer erklären ? :(

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Schreibe mal die 5-te Partialsumme hin:$$s_5=1/2((1-2/2+1/3)+(1/2-2/3+1/4)+$$

$$(1/3-2/4+1/5)+(1/4-2/5+1/6)+(1/5-2/6+1/7))$$Die \(*/3\) heben sich weg, ebenso

die \(*/4\) und die \(*/5\). Das ist ein Teleskopsummen-Verhalten.

Versuche \(s_n\) für allgemeines \(n\) zu vermuten.