lineare Gleichungssysteme (Matrix)

Question

Hallo!

Aufgabe: Man soll hier wieder den Lösungsraum für das folgende Gleichungssystem bestimmen.

Aber man hat hier mehr Zeilen als Spalten. Wie soll das dann funktionieren? Ich habe da mal angefangen zu rechnen, aber mein Ansatz kommt mir nicht richtig vor. Wie würdet ihr hier vorgehen?

Problem/Ansatz:

\( \left(\begin{array}{ccccc|c}-1 & 3 & 0 & -1 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & 5 & 0 & 7 \\ -1 & 0 & 2 & 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & -3 \\ -1 & -1 & 2 & 1 & -4 & -1\end{array}\right) \)

\( \left(\begin{array}{ccccc|c}-1 & 3 & 0 & -1 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & 5 & 0 & 7 \\ -1 & 0 & 2 & 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & -3 \\ -1 & -1 & 2 & 1 & -4 & -1\end{array}\right) \stackrel{Z_{1} \rightarrow-z_{1}}{\longrightarrow} \)
\( \left(\begin{array}{ccccc|c}1 & -3 & 0 & 1 & -2 & -5 \\ 2 & 1 & 3 & 5 & 0 & 7 \\ -1 & 0 & 2 & 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & -3 \\ -1 & -1 & 2 & 1 & -4 & -1\end{array}\right) \begin{array}{l}z_{2} \rightarrow z_{2}-2 z_{1} \\ z_{3} \rightarrow z_{3}+z_{1} \\ \underset{z_{4} \rightarrow z_{4}-z_{1}}{\longrightarrow} \rightarrow z_{6}+z_{1}\end{array} \)
\( \left(\begin{array}{ccccc|c}1 & -3 & 0 & 1 & -2 & -5 \\ 0 & 7 & 3 & 3 & 4 & 17 \\ 0 & -3 & 2 & 2 & -5 & -4 \\ 0 & 4 & 1 & 1 & 3 & 9 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & -4 & 2 & 2 & -6 & -6\end{array}\right) \begin{array}{l}z_{3} \rightarrow z_{3}-3 z_{5} \\ z_{4} \rightarrow z_{4}+4 z_{5} \\ z_{5} \rightarrow 4 z_{5}-z_{6} \\ z_{6} \rightarrow z_{6}+z_{4}\end{array} \)
\( \left(\begin{array}{ccccc|c}1 & -3 & 0 & 1 & -2 & -5 \\ 0 & 7 & 3 & 3 & 4 & 17 \\ 0 & 0 & 5 & 5 & -5 & 5 \\ 0 & 0 & -3 & -3 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & -6 & -6 & 6 & -6 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & -3 & 3\end{array}\right) \)

Answer 1

Nun, das lgs ist überbestimmt. dann sollte zumindest eine gleichung wegfallen, wenn das lgs lösbar sein soll.

du kannst auch sehen, das gleich 3 zeilen/gleichungen wegfallen.

3. zeile 1/5 zu 4.,5.,6. zeile

die zeilenstufenform hat also nur 3 zeilen x4,x5 bleiben unbestimmt

ich hab deine letzte aufgabe als beispiel verwendet, siehe

https://www.geogebra.org/m/spbyjpsa

Comments

Danke wächter für deine Rückmeldung, aber ich hab' das noch nicht durchblickt. Ich kann die Berechnungen in Geogebra nicht wirklich nachvollziehen.

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Soll ich die letzten drei Zeilen entfernen?

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Nein, die kannst Du stehen lassen.

\(\small Ab_{RRef} \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrrr}1&0&0&1&1&1\\0&1&0&0&1&2\\0&0&1&1&-1&1\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{array}\right)\)

==>

\(\small \left\{ x1 = -x4 - x5 + 1, x3 = -x5 + 2, x2 = -x4 + x5 + 1, x4 = x4, x5 = x5 \right\}  \)

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rrrrr}-1&3&0&-1&2\\2&1&3&5&0\\-1&0&2&1&-3\\1&1&1&2&1\\0&-1&-1&-1&0\\-1&-1&2&1&-4\\\end{array}\right) \, \left(\begin{array}{r}-t_1 - t_2 + 1\\-t_2 + 2\\-t_1 + t_2 + 1\\t_1\\t_2\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r}5\\7\\1\\4\\-3\\-1\\\end{array}\right) \right\} \)

die aus den t_i gebildetet Vektoren sind eine Basis des Kerns.

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Aber ich muss ja die Matrix zuerst in stufenform bringen und oberhalb sowie unterhalb der führenden 1 Nullen erzuegen. Warum machen wir das hier nicht?

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Hab ich doch, siehe Ab_RRef

mit einem Blick auf das daraus resultierende LGS

Grundsätzlich gilt

\( \left\{ RRef = \left(\begin{array}{rr}id_{r}&K_{r}\\0&0\\\end{array}\right) → Kern = \left(\begin{array}{r}K_{r}\\-id_{n-r}\\\end{array}\right) \right\} \)

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Achso...

Aber ich kann Ab_RRef leider noch nicht nachvollziehen. Wie bist du auf dieses Ergebnis gekommen? Bei mir kommen andere Werte raus. Könntest du vielleicht deine Rechnung hier hochladen, damit ich die Schritte besser nachvollziehen kann? Wenn es natürlich nicht umständlich für dich ist.

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Is net umständlich...

Zeile 1 und Zeile 2 * (-1)

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Ich hab‘s nachgerechnet und ich komme auf das gleiche Ergebnis, aber stimmen die Zwischenergebnisse auch? Passt alles? Es kann sein, dass ich irgendwo einen Fehler eingebaut habe und trotzdem auf das gleiche Ergebnis komme.

\( \left(\begin{array}{ccccc|c}-1 & 3 & 0 & -1 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & 5 & 0 & 7 \\ -1 & 0 & 2 & 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & -3 \\ -1 & -1 & 2 & 1 & -4 & -1\end{array}\right) \)
\( \left(\begin{array}{ccccc|c}1 & -3 & 0 & 1 & -2 & -5 \\ 2 & 1 & 3 & 5 & 0 & 7 \\ -1 & 0 & 2 & 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & -3 \\ -1 & -1 & 2 & 1 & -4 & -1 \\ & & & & & \end{array}\right) \)

\( \left(\begin{array}{ccccc|c}1 & -3 & 0 & 1 & -2 & -5 \\ 0 & 7 & 3 & 3 & 4 & 17 \\ 0 & -3 & 2 & 2 & -5 & -4 \\ 0 & 4 & 1 & 1 & 3 & 9 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & -4 & 2 & 2 & -6 & -6\end{array}\right) \)
\( \left(\begin{array}{ccccc|c}1 & -3 & 0 & 1 & -2 & -5 \\ 0 & 7 & 3 & 3 & 4 & 17 \\ 0 & 0 & 5 & 5 & -5 & 5 \\ 0 & 0 & -3 & -3 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & -6 & -6 & 6 & -6 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & -3 & 3\end{array}\right) \)

\( \left(\begin{array}{ccccc|c}1 & -3 & 0 & 1 & -2 & -5 \\ 0 & 7 & 3 & 3 & 4 & 17 \\ 0 & 0 & 5 & 5 & -5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)
\( \left(\begin{array}{ccccc|c}1 & -3 & 0 & 1 & -2 & -5 \\ 0 & 7 & 3 & 3 & 4 & 17 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

\( \left(\begin{array}{ccccc|c}1 & -3 & 0 & 1 & -2 & -5 \\ 0 & 7 & 3 & 3 & 4 & 17 \\ 0 & 0 & 5 & 5 & -5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \quad \begin{array}{l}z_{1} \rightarrow 7 z_{1}+3 z_{2} \\ z_{3} \rightarrow \frac{1}{5} z_{3}\end{array} \)

\( \left(\begin{array}{ccccc|c}1 & -3 & 0 & 1 & -2 & -5 \\ 0 & 7 & 3 & 3 & 4 & 17 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \quad z_{2} \rightarrow z_{2}-3 z_{3} \)
\( \left(\begin{array}{ccccc|c}1 & -3 & 0 & 1 & -2 & -5 \\ 0 & 7 & 0 & 0 & 7 & 14 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ & & \end{array}\right) \quad z_{2} \rightarrow \frac{1}{7} z_{2} \)

\( \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -3 & 0 & 1 & -2 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \quad z_{1} \rightarrow z_{1}+3 z_{2} \)
\( \Rightarrow \) die letzte zeile wird entfernt

\( \left(\begin{array}{ccccc|c}1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

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Das sieht doch gut aus...

Wieso nimmst Du die letze Zeile raus - das hätte Gauß nicht getan und zur Zeilenstufenform gehört sie dazu....

BTW: mit der App im Link oben kannst Du alle Deine Schritte wiedergeben und nachrechnen...

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weil ich 5 Spalten und 6 Zeilen habe, daher muss die letzte Zeile weg, damit ich gleich viele Spalten wie Zeilen habe. So ähnlich sind wir auch in der Übungsstunde vorgegangen. Ist die Überlegung nicht richtig?

Und ich kenne mich mit der App gar nicht aus. Wie gebe ich die Matrix ein? Welche Befehle muss ich da eingeben? Wär wirklich schlau das zu wissen.

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Also,

Du kannst nicht einfach eine Gleichung wegstreichen, siehe oben in der Lösung - auch die letzte Gleichung muß eine wahre Aussage ergeben.

Und

da ist doch ein Filmchen dabei, das ein Beispiel zeigt.

Stelle den Slider auf 0!

Deine Matrix hat die Form

A:={{-1,3,0,-1,2},{2,1,3,5,0},{-1,0,2,1,-3},{1,1,1,2,1},{0,-1,-1,-1,0},{-1,-1,2,1,-4}}

kopiere sie nach Zeile 5, die bestehenden Umformungen in

P:{}

rausnehmen. Leere Klammer...

RowCol = 1

erste Spalte auswählen und

\([\ddots^{col}\small\Downarrow 1]\)

Umformungen werden in P angezeigt

P:{ {2, 5}, {6, 1, -1}, {4, 1, 1}, {3, 1, -1}, {2, 1, 2}}

Slider bis auf 4 aufziehen und die einzelnen Schritte um die erste Spalte auf 0 zu setzen ausführen.

Dann hab ich {2,5} ergänzt

- slider = 5 : Zeile 2 und 5 getauscht

goto RowCol = 2,3

RowCol = -3,-2 heißt Rückwärtssubstitution Spalte 3, 2

P:{{1,1,-1},{2,2,-1},.....

Zeile 1,Zeile 2 *(-1) fertisch

Es hindert Dich auch niemand daran die Umformungsschritte selber von Hand anzulegen...

ausführliche Hinweise

https://www.geogebra.org/m/yygxzq8p

Besser arbeitet es sich mit ggb auf dem Rechner an stelle der Browser app...