Ordne den Graphen die Terme zu

Question

Aufgabe: Ordne den gegebenen  Graphen folgende Funktionsterme zu:

i(x)= x²-4x+2

k(x)=-0,25(x-2)²-2

…

Problem/Ansatz: Ich kann jetzt zwar keine Graphen einblenden, aber wie bekomme ich zum Beispiel die Scheitelpunkte oder die Nullstellen dieser Terme, um sie mit den der Graphen zu vergleichen.

Answer 1

i(x) ist eine verschobene Normalparabel, die bei y=2 die y-Achse schneidet.

i(x)=x^2-4x+2

=x²-2•2x+2²-2²+2

=(x-2)²-2 → S1(2|-2)

Nullstellen:

0=x²-4x+2

x=2±√(4-2)=2±√2

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k(x) ist eine nach unten geöffnete Parabel, deren Scheitelpunkt S2(2|-2) ist.

k(x) hat keine Nullstelle.

Beide Parabeln haben den gleichen Scheitelpunkt.

Comments

Wie kommt man auf den Scheitelpunkt von k(x) ?

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Den kannst du ablesen.

Eine Parabel mit der Scheitelpunktform \(y=a(x-d)^2+e\) hat den Scheitelpunkt S (d | e)

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Ach, so. Danke. Und wie kommt man darauf, dass i(x) einen y-Achsenabschnitt von 2 hat?

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Wenn du für 0 für x einsetzt, ist das Ergebnis 2.

Bei Gleichungen der Form \ï(f(x)=ax^2+bx+c\) ist c der Schnittpunkt mit der y-Achse.

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Und wie kriegt man den Scheitelpunkt von i(x) raus?

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

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z.B. mit der Quadratischen Ergänzung

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Vielen Dank! Meine letzte Frage wäre, ob man die Nullstellen beider Terme mit der pq- Formel lösen könnte.

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Das kannst du. k(x) musst du vorher noch von der Scheitelpunkt- in die Normalform umwandeln.

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vorher noch von der Scheitelpunkt- in die Normalform umwandeln

Das ist gar nicht nötig.

0=-0,25(x-2)²-2     |+2

2=-0,25(x-2)²         |•(-4)

-8=(x-2)² → Keine Nullstelle!

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Also:

k(x)=-0,25(x-2)²-2

k(x)= -0,25(X²-4x+4) -2

k(x)= -0,25x²+x-1-2

k(x)=-0,25x²+1x-3

Und dann kann man die pq- Formel anwenden.

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Für die pq-Formel muss der Faktor vor x² gleich 1 sein.

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Soll ich dann den Term aus dem letzten Rechenschritt einfach mit -4 erweitern oder wie macht man das?

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Erst gleich Null setzen und dann mit (-4) multiplizieren.

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Warum gleich null setzen, ich muss ja bei einem Term mit der Scheitelpunktform auch nur die pq- Formel anwenden?

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Schau dir Montys Rechnung nochmal an, er hat den Term auch = 0 gesetzt, denn das beinhaltet die Normalform von quadratischen Gleichungen, s. auch

\( x^{2}=0 \)
\( x^{2}+q=0 \)
\( x^{2}+p x=0 \)
\( x^{2}+p x+q=0 \)

Und bei der 4. Variante wendest du die pq-Formel an.

Answer 2

Ordne den gegebenen Graphen folgende Funktionsterme zu.

Nutze doch einfach mal direkt das, was du ablesen kannst

i(x) = x² - 4x + 2

i ist eine nach oben geöffnete Normalparabel, die den y-Achsenabschnitt mit der Steigung -4 bei y = 2 schneidet.

Du kannst auch noch andere Werte für x einsetzen, um Fallunterscheidungen zu anderen Graphen zu treffen.

k(x) = -0,25(x - 2)² - 2

k ist eine nach unten geöffnete gestauchte Parabel, welche den Scheitelpunkt bei (2 | -2) besitzt.

Da die Parabel nach unten geöffnet ist und der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse liegt, kann die Parabel keine Nullstellen haben.

Du kannst auch hier noch andere Werte für x einsetzen, um Fallunterscheidungen zu anderen Graphen zu treffen.