Warum quadratische Ergänzung um Scheitelpunktform zu bekommen?

Question

Ich weiß, wie man rechnerisch von der Normalform der Parabel zur Scheitelpunktform kommt, nämlich mit der quadratischen Ergänzung. Aber warum gerade mit dieser?

Answer 1

Ziel ist es ja zu einem Binom der Form (x + d)^2 zu kommen. Und das erreicht man eben über die quadratische Ergänzung mit der du zu einer binomischen Formel ergänzt.

y = a·x^2 + b·x + c

y = a·(x^2 + b/a·x) + c

y = a·(x^2 + b/a·x + (b/(2·a))^2 - (b/(2·a))^2) + c

y = a·(x^2 + b/a·x + (b/(2·a))^2) + c - a·(b/(2·a))^2

y = a·(x + b/(2·a))^2 + c - b^2/(4·a)

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Aber diese Antwort verschiebt meine Frage nur um eine Stufe. Denn warum ist man auf eben dieses Ziel, eben diese binomische Formel, aus? Oder anders ausgedrückt: Wie wusste der Entdecker dieses Lösungsweges, dass mittels Heranziehens der quadratischen Ergänzung am Ende etwas herauskommen würde, aus dem man die Koordinaten des Scheitelpunktes ohne weiteres ablesen konnte? Oder hat er nur herumprobiert, auf gut Glück die quadratische Ergänzung eingesetzt und damit zufällig etwas gefunden, das wunderbarerweise die Scheitelpunktkoordinaten anzeigt?

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Du hast einfach eine Quadratische Funktion.

f(x) = a * x^2

Die hat ihren Scheitelpunkt im Ursprung.

Möchte man den Scheitelpunkt woanders haben kann man den Graphen verschieben. Einmal entlang der y-Achse und einmal entlang der x-Achse.

sei g(x) die Parabel von f(x) die um Px einheiten in Richtung x-Achse und um Py Einheiten in Richtung y-Achse verschoben wird erhalten wir

g(x) = f(x - Px) + Py = a * (x - Px)^2 + Py

Wenn man das ausmultipliziert erhält man die allgemeine Form. Und dieses ausmultiplizieren macht man bei der quadratischen Ergänzung ja einfach nur rückgängig.

Ich nehme an das ohnehin die quadratische Ergänzung zunächst bei quadratischen Gleichungen Anwendung fand. Dann aber auch sehr schnell bei den quadratischen Funktionen genutzt wurde.

Answer 2

Zu deiner Nachfrage beim mathecoach,

f ( x ) = a * ( x - b )^2 + c

ist die allgemeine Scheitelpunktform.

ich gehe der einfachheithalber von a > 0 aus.

Wird für x = b eingesetzt erhält man

f ( b ) = a * ( b - b )^2 + c
f ( b ) = a * ( 0 )^2 + c
f ( b ) =  c

c ist der tiefste  Funktionswert der auftreten kann.
bei allen anderen x Werten steht in der Klammer
ein Wert ungleich 0 . das Quadrat ist auch ungleich.
Bei Multiplikation mit a auch ungleich null.

a * ( x - b )^2 ist stets ungleich 0 außer bei x = b.

Damit ist der gesamte Funktionswert bei x <> b
einen Tick höher als c
Der Scheitelpunkt ist als tiefster Punkt einer
Parabel definert
S ( b | c ) ist der Scheitelpunkt und läßt sich
aus dem Scheitelpunktfunktionterm ablesen.

mfg Georg

Nachtrag : ist a < 0 dann ist der Scheitelpunkt
ein Hochpunkt.

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Eine interessante und einleuchtende Überlegung. Ob sie allerdings meine (zweite) Frage beantwortet, ist mir unklar. Jedenfalls danke! G.R.

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Falls du irgendetwas nachfragen möchtest dann
nur zu.
Dazu ist das Forum da.
Du sollst nicht unwissend sterben.

mfg Georg

Answer 3

Bei der Scheitelpunktform benötigt man eine Klammer (x - x_(s))^2 , dabei ist x_(s) die x-Koordinate es Scheitelpunktes.

Wenn die Klammer aufgelöst wird, kann bei  (x - x_(s))^2  die binomische Formel oder das Distributivgesetz angewendet werden. Die quadratische Ergänzung nutze die binomische Formel und ist bestimmt die bequemste Variante.

Aber warum gerade mit dieser? 

Das ist nicht zwingend.

Alternative 1: Wenn du die abc-Formel kennst, kannst du auch damit arbeiten. Da machst du folgende Schritte

1. x_(1,2) = ..... mit den richtigen a,b,c hinschreiben.

2. ± Wurzel weglassen. ==> Du hast x_(s) .

3. y_(s) berechnen.

4. y = a(x-x_(s))^2 + y_(s) hinschreiben.

Alternative 2: Wenn ihr Ableitungen (Differentialrechnung) gelernt habt.

1. Ableitung f ' (x) ausrechnen.

2. f ' (x) = 0 nach x auflösen. ==> Du hast x_(s) .

3. y_(s) berechnen.

4. y = a(x-x_(s))^2 + y_(s) hinschreiben.

Hast du selbst noch einen weiteren Vorschlag?

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Danke für alle Antworten! G.R.