Allgemeine Form in Scheitelpunktform umwandeln mithilfe der quadratischen Ergänzung

Question

Ich habe die Funktionsgleichung y = 4x² + 5x - 20 gegeben und soll sie in die Scheitelpunktform umwandeln,

macht man das so? Mithilfe der quadratischen Ergänzung?

y = 4x² + 5x - 20     l :4

y = x² + 1.25x - 5

y = x² + 1.25x + (1.25/2)² - (1.25/2)² - 5

y = (x-0.625)² - 0.39 - 5

y = (x-0.625)² - 4.61

Answer 1

y = 4x² + 5x - 20     l :4

y = x² + 1.25x - 5


Das geht nicht. Damit veränderst du ja die Funktion.

Du kannst die Quadratische Ergänzung aber auch ausführen, wenn x^2 einen Vorfaktor hat.
Wir versuchen ja auf (ax-b)^2 zurückzuführen. Das ergibt ja:
a^2x^2 - 2abx + b^2.

Versuch jetzt dies jetzt einmal auf dieser Grundlage

Comments

Das geht schon und wird manch mal so gelehrt. Die Äquivalenzumformung muss dabei natürlich auf beiden Seiten durchgeführt werden, also wäre

y = 4x² + 5x - 20     l :4

y/4 = x² + 1.25x - 5

...

ein gangbarer Weg.

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Da hast du recht. Meine Aussage bezog sich nur auf die einseitige Umformung.

Also ist wichtig:

Du musst die Äquivalenzumformung später wieder rückgängig machen.

Answer 2

Du must auf der rechten Seite erstmal 4 ausklammern, und dann ist die quadratische Ergänzung \( \left( \frac{5}{8} \right)^2 \)

Answer 3

y = 4x² + 5x - 20
y = 4 * [ x² + 5/4 * x - 5 ]  
y = 4 * [ x² + 5/4 * x + (5/8)^2 - (5/8)^2- 5 ]
y = 4 * [  ( x + (5/8) ) ^2 - 5.390625 ]
y = 4 * [  ( x + (5/8) ) ^2  ] - 4 * [ 5.390625 ]

Scheitelpunktform
y = 4 * ( x + 5/8 ) ^2   - 21.5625