Definitionsbereich bestimmen, Logarithmusfunktion

Question

ich habe folgende Funktion vor mir:

$$f\left( x \right) =ln\left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 1-x }  \right) $$

und soll den Definitionsbereich bestimmen.

Meine Überlegung war das die Funktion bei X=1 und X=0 eine Polstelle besitzt und es X>1 gelten muss, da ansonsten die innere Funktion kleiner 0 wird und der Logarithmus dort nicht definiert ist.

Wie schreibt man das nun Richtig auf?

passt das so?

Df= R \ {x>1,0}

Answer 1

Es muss $$\frac{x^2}{1-x}>0$$ gelten. 

Der Zähler ist immer positiv für x ≠ 0. Also muss der Nenner auch positiv sein: $$1-x>0\Rightarrow x<1$$ 

Der Definitionsbereich ist also $$D=\left(-\infty , 0\right) \cup \left(0,1\right)$$ 

Answer 2

> Meine Überlegung war das die Funktion bei X=1 und X=0 eine Polstelle besitzt

Eine Polstelle ist eine Lücke im Definitionsbereich, die darüber hinaus noch gewisse Eigenschaften hat.

Wenn du also sagst, die Funktion \(f(x) = \ln\left(\frac{x^2}{1-x}\right)\) hätte eine Definitionslücke bei \(x=1\) weil sie dort eine Polstelle hat, dann beist sich die Katze in den Schwanz. Du sagst dann nämlich, dass sei eine Definitionslücke hat, weil sie eine Definitionslücke hat.

Stattdessen solltest du argumentieren, dass \(f(x)\)

• bei \(x = 1\) nicht definiert ist, weil \(\frac{x^2}{1-x}\) dort eine Definitionslücke hat
• bei \(x = 0 \) nicht definiert ist, weil dort \(\frac{x^2}{1-x} = 0\) ist und \(\ln\) bei  \(0\) nicht definiert ist.

> und es X>1 gelten muss

Es muss \(x < 1\) gelten.

Also ist der Definitionsbereich die Menge der reellen Zahlen die kleiner als eins und ungleich null sind.

Answer 3

untersuche das Argument des ln auf

$$ \frac{x^2}{1-x}  \gt 0$$