Gleichung 4. Grades lösen

Question

Wenn man x ausklammert, dann bleibt ja bei einer Zahl x^3 dann geht keine pq Formel aber nochmal ausklammern auch nicht weil dann 3,2 kein x mehr hat. Also wie muss ich vorgehen? 

Answer 1

Multipliziere das Drama mit 10 und versuche dann die Teiler von 32 - auch die negativen - als mögliche Lösungen

Comments

"...10" und klammere  x aus.

Answer 2

0.1·x^4 - 0.8·x^3 + 2.4·x^2 - 3.2·x = 0

1/10·x·(x^3 - 8·x^2 + 24·x - 32) = 0

Finde durch probieren x = 4 als Nullstelle des kubischen Terms

(x^3 - 8·x^2 + 24·x - 32) / (x - 4) = x^2 - 4·x + 8

Hier gibt es keine weiteren reellen Nullstellen. Faktorisiert lautet die Gleichung

1/10·x·(x - 4)·(x^2 - 4·x + 8) = 0

Answer 3

 

Gleichung * 10 :

x⁴ - 8·x³ + 24·x² - 32x  =  0

x * ( x³ - 8·x² + 24·x - 32 )  =  0

x1 = 0

x³ - 8·x² + 24·x - 32   =  0

x teilweise ausklammern und für  x² - 8x  die quadratische Ergänzung basteln: 

 x * ( x² - 8x + 16 + 8) - 32  = 0 

x * [ (x - 4)² + 8 ] - 32   =  0

x *  (x - 4)² + 8x - 32  =  0 

x *  (x - 4)² + 8 * (x - 4)   =  0 

(x-4)  ausklammern:

(x-4) * [ x * (x-4)  + 8 ]  =  0

(x-4) * ( x² - 4x + 8)  =  0

x₂ = 4 

Für  x² - 4x + 8  ergibt die pq-Formel keine weiteren reellen Nullstellen

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du kannst  für  x³ - 8·x² + 24·x - 32  = 0 die Lösung x₂ = 4  auch durch Probieren finden und erhältst dann durch die Polynodivision  

( x³ - 8·x² + 24·x - 32 ) : (x - 4)  den Term   x² - 4x + 8 , der keine weiteren reellenNullstellen mehr hat. 

Gruß Wolfgang

Comments

nur in der 1. Zeile fehlt das x bei 32

In der 2. Zeile ist es dann wieder richtig ausgeklammert, so, als wenn es da wäre.

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Simmt, danke für den Hinweis. Habe es korrigiert.

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Super. 

Ich finde es auch toll, dass wir dem Frager 4 verschiedene Rechnungswege zeigen konnten.

... eine Art "Geschichte der Mathematik..."

Answer 4

Zugabe für die, die nicht auf Spezialfälle hoffen wollen, die man raten kann, oder Quadratische Ergänzungen basteln wollen:

1. x ausklammer, damit erste Nullstelle erledigt ist x₁=0

2. Kubische Gleichung entweder per Cardanische Formel

oder gleich nach Reduktion nur die Kubische Gl. per PQRST-Formel (LINK dort zu finden) mit komplexen Zahlen:

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

rechnet es vor und zeigt auch die PQRST-Formel (kein Schulstoff).

Dann stimmt auch der Satz wieder: Jede Gleichung n. Grades hat n Nullstellen.

(ob sie nun komplex oder doppelt sind, ist eine andere Frage)