In welchen Punkten des Intervalls [0,1] ist f stetig, rechtsseitig stetig, bzw linksseitig stetig?

Question

Text erkannt:

Sei \( q_{1}, q_{2}, \ldots \) eine Abzählung der rationalen Zahlen in \( [0,1] \). Sei
\( S_{j}(x):=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { für } x \leq q_{j} \\ 1 & \text { für } x>q_{j} \end{array}\right. \)
und
\( f(x):=\sum \limits_{j=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{j} S_{j}(x) \)
In welchen Punkten des Intervalls \( [0,1] \) ist \( f \) stetig, rechtsseitig stetig, bzw. linksseitig stetig?

Wie könnte man sich das grafisch ca. vorstellen anhand einer Skizze? Mir ist klar, dass es sich um die geom. Reihe handelt und dass somit Konvergenz vorliegt und, dass für den Punkt 1 Linksstetigkeit und für 0 stetigkeit vorliegt und das für die x<=q_j und x>q_j jwl links und rechtsstetigkeit vorliegt. Jedoch für das Verständnis wäre es besser sich das evtl grafisch vorzustellen.

Answer 1

Die Funktionen \(S_j\) sind überall stetig außer im Punkt \(q_j\); dort sind sie nur linksseitig stetig.

Weil die \(S_j\) beschränkt sind, konvergiert die Reihendarstellung für f gleichmäßig - die geometrische Reihe mit q=0.5 ist Majorante. Daher erbt f eventuelle Stetigkeitseigenschaften der \(S_j\).

Falls \(x_0 \in [0,1]\) irrational ist, sind alle \(S_j\) dort stetig, also auch f

Falls \(x_0 \in (0,1)\) rational ist, sagen wir \(x=q_m\); dann ist \(x \mapsto f(x)-0.5^mS_m(x)\) dort stetig, .also f dort nur linksseitig stetig.