Berechnen Sie nun approximativ die Wahrscheinlichkeit 2

Question

Aufgabe:

Sie sollen für Ihr Unternehmen den Finanzplan für die kommenden drei Monate erstellen. Dazu fehlt Ihnen noch eine Einschätzung der Kosten für die Service-Hotline. Um eine grobe Prognose abgeben zu können, betrachten Sie die poissonverteilte Zufallsvariable “Anzahl der eingegangen Anrufe” der letzten Tage, die in folgender Tabelle ersichtlich sind:

Tag 1 2 3 4 5
Kundenanrufe 76 77 70 86 96

Jeder Anruf kostet Sie 0.76 Euro. Berechnen Sie nun approximativ (mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes) die Wahrscheinlichkeit, dass Sie in den kommenden 90 Tagen zwischen 5505 und 5615 Euro für Ihre Service-Hotline ausgeben müssen, wenn die Anzahl der Anrufe pro Tag als voneinander unabhängige Zufallsvariablen angenommen werden können. (Geben Sie das Ergebnis bitte in Prozent an!)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll, könnt ihr mir helfen?

Answer 1

Durchschnitt der 5 Tage:

81 Anrufe pro Tag

Anrufe X pro Tag:

X ~ Poisson mit \(\lambda = 81 = \mu_X = \sigma_X^2\).

Anrufe Y in 90 Tagen:

\(Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)\) mit \(\mu_Y = 90\lambda, \sigma_Y^2 = 90\lambda\)

Kosten K in 90 Tagen (0.76 € pro Anruf):

\( K\sim N(\mu , \sigma^2) \) mit

\( \mu = 0.76\mu_Y = 5540.40 (€)\) und

\( \sigma^2 = 0.76^2\sigma_Y^2 = 4210.704 (€^2) \)

Gesucht:
$$P\left(  5505 \leq K \leq 5615  \right) = P\left(  \frac{5505 - \mu}{\sigma} \leq \frac{K - \mu}{\sigma}  \leq \frac{5615 - \mu}{\sigma}\right)$$ $$ \approx 58.2\% $$

Rechnung hier oder hier.