Negative und Positive Definitheit bei Matrizen?

Question

Aufgabe:

(i) Eine symmetrische Matrix \( A \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{R}) \) heißt negativ definit, wenn
\( Q_{A}(h)=h \cdot A h<0 \)
für alle \( h \in \mathbb{R}^{n} \backslash\{0\} \). Zeigen Sie: \( A \) negativ definit \( \Leftrightarrow-A \) positiv definit.
(ii) Überprüfen Sie die folgenden zwei Matrizen auf Definitheit:
\( \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & -4 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{rrr} -3 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & -4 \end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Könnte mir Jemand mit der (i) weiterhelfen? Ich bin sehr schlecht bei Beweisen.

Answer 1

A negativ definit

\(\Leftrightarrow Q_{A}(h)=h \cdot A h<0 \) für alle \( h \in \mathbb{R}^{n} \backslash\{0\} \)

\(\Leftrightarrow Q_{A}(h)=-h \cdot A h>0 \) für alle \( h \in \mathbb{R}^{n} \backslash\{0\} \)

\(\Leftrightarrow Q_{-A}(h)=h \cdot (-A) h>0 \) für alle \( h \in \mathbb{R}^{n} \backslash\{0\} \)

\(\Leftrightarrow \)

-A positiv definit