Varianzzerlegung: zeigen Sie den Satz

Question

Aufgabe:

$\bar{x}_{j}=\frac{1}{n_{j}} \sum \limits_{i=1}^{n_{j}} x_{j i} \quad \text { und } \quad s_{j}^{2}=\frac{1}{n_{j}} \sum \limits_{i=1}^{n_{j}}\left(x_{j i}-\bar{x}_{j}\right)^{2}$

Sind das arithmetische Mittel bzw. die empirische Varianz der $j$-ten Teilreihe. Wie üblich bezeichnen $\bar{x}$ und $s^{2}$ das arithmetische Mittel bzw. die empirische Varianz der gesamten Messreihe.

Zeigen Sie:
$s^{2}=\sum \limits_{j=1}^{\ell} \frac{n_{j}}{n} s_{j}^{2}+\sum \limits_{j=1}^{\ell} \frac{n_{j}}{n}\left(\bar{x}_{j}-\bar{x}\right)^{2}$

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht, die obige Formel durch den Satz $s^{2}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-(\bar{x})^{2}$  zu beweisen, aber ich bleibe immer stecken und kann keine Gleichung finden.

Könnte mir bitte jemand helfen ?

Vielen Dank im Voraus!