Beweis der Varianzzerlegung(Streuungszerlegung)

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie:
\(s^{2}=\sum \limits_{j=1}^{\ell} \frac{n_{j}}{n} s_{j}^{2}+\sum \limits_{j=1}^{\ell} \frac{n_{j}}{n}\left(\bar{x}_{j}-\bar{x}\right)^{2}\)

mit \( \sum \limits_{j=1}^{\ell} n_{j}=n . \)
und
\(\bar{x}_{j}=\frac{1}{n_{j}} \sum\limits_{i=1}^{n_{j}} x_{j i} \quad \text { und } \quad s_{j}^{2}=\frac{1}{n_{j}} \sum \limits_{i=1}^{n_{j}}\left(x_{j i}-\bar{x}_{j}\right)^{2}\)

\( \bar{x} \) ist das arithmetisches Mittelund \( s^{2} \) ist die empirische Standardabweichung.

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich nicht wie ich das machen sollte...

Answer 1

$$  x_{ik} - \overline{x} = \big[ x_{ik} - \overline{x_i} \big] + \big[ \overline{x_i} - \overline{x} \big] $$ also

$$ \big[ x_{ik} - \overline{x} \big]^2 = \big[ x_{ik} - \overline{x_i} \big]^2 +2\big[ x_{ik} - \overline{x_i} \big] \big[ \overline{x_i} - \overline{x} \big ] + \big[ \overline{x_i} - \overline{x} \big]^2 $$

Also

$$ \sum_{k=1}^{n_i} \big[ x_{ik} - \overline{x} \big]^2 = n_i \big[ \overline{x_i} - \overline{x} \big]^2 + \sum_{k=1}^{n_i} \big[ x_{ik} - \overline{x_i} \big]^2  $$ und deshalb

$$ \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^{n_i} \big[ x_{ik} - \overline{x} \big]^2 = \sum_{i=1}^n n_i \big[ \overline{x_i} - \overline{x} \big]^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^{n_i} \big[ x_{ik} - \overline{x_i} \big]^2  $$

Comments

Danke für deine Antwort, ich hätte noch eine Frage zum letzten Schritt (die letzte Zeile):

Woher kommt die Doppelsumme her? Und wie beweist das die Varianzzerlegungsformel? Das habe ich noch nicht verstanden.

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Ich glaube da hast Du noch mehr nicht verstanden.

1. Warum ist \( \sum_{k=1}^{n_i} \big[  x_{ik} - \overline{x_i} \big] \big[ \overline{x_i} - \overline{x} \big] = 0 \)

2. Du musst Deine Definitionen in Deine Formel einsetzten und noch durch \( n \) dividieren, dann siehst Du, warum das der beweis ist.

3. Mach Dir klar, wie die Gesamtstreuung definiert ist

4. Die Doppelsumme entsteht dadurch, weil ich über alle Gruppen addiere.

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Verstehe nicht, wie ich die Definitionen umformen soll, nachdem ich sie eingesetzt habe.

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Ja dann schreib doch mal genauer wo das Problem liegt. Ich hab doch schon Vorarbeit geleistet. Mit so difusen Angaben kann ich nichts anfangen.

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\( \sum\limits_{j=1}^{l}{(nj/n)} \) * \( \sum\limits_{i=1}^{nj}{((1/nj)*(xji-xj)^2)+\sum\limits_{j=1}^{l}{((nj/n)*(xj-x)^2)}} \)

die nj würden sich streichen, wenn man dann mal n rechnen würde, hätte man deine letzte gleichung, aber das hast glaube ich nicht so gemeint. (xj und x sind mit jeweils querstrichen gemeint)

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Ist doch super so. Genauso habe ich das gemeint. Und Dein Ausdruck und mein Ausdruck stimmen jetzt überein.

Ist auch klar warum

\( \sum_{k=1}^{n_i} \big[  x_{ik} - \overline{x_i} \big] \big[ \overline{x_i} - \overline{x} \big] = 0 \) gilt?

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Jo das ist klar, hatte ich in der letzten Vorlesung, danke noch mal