Damit etwas punktweise konvergiert, muss die Funktionsweise gegen 0 und gegen 1 konvergieren oder?

Question

Hallo Leute, ich habe mal eine Frage.

Damit etwas punktweise konvergiert, muss die Funktionsfolge gegen 0 und gegen 1 konvergieren oder? Also: [0:1] für jede Zahl, die man einsetzt.

Stimmt das so ?

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionsfolg (fn)n∈ℕ: x↦ 1/(1+x²ⁿ)

(a) Zeigen Sie, dass die funktionsfolge punktweise konvergiert. Gegen welche Funktion?

Meine lösung:

Ich habe hier jetzt einmal 0 eingesetzt, einmal 1 und einmal irgendeine Zahl größer 1.

Für kleiner 1 bekam ich: 1

Für = 1 bekam ich: 1/2

Und für größere eins bekam ich: 0

Aber wie begründe ich jetzt, dass die Funktionsfolge punktweise konvergiert ?

Comments

Das ist unverständlich was soll "Funktionsweise sein?

Damit eine Funktionenfolge punktweise konvergiert, muss fn(x0) gegen f(x0) konvergieren, aber f(x0)  muss weder 0 noch 1 sein.

vielleicht nennst du ein Beispiel?

lul

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Tut mir leid, meinte Funktionsfolge.

Habe das Beispiele nun ergänzt.

Answer 1

Hallo

du hast die Grenzfunktion f(x)= in (-oo,-1), f(x)=1 für (-1,1) und f(x)=0 für (1,oo)   und f(-1)=f(1)=1/2  in den jeweiligen Gebieten konvergiert die funktion Punktweise, was man mit normalen GW zeigt, also es gibt ein N(x,ε) so dass für n>N |fn(x)-f(x)|<ε

meist ist f nur für eines der Intervalle gegeben ist es hier für ganz R?

Gruß lul

Comments

Ja, ist für ganz R.

Und Dankeschön für die Antwort! :)