Berechnen Sie das Integral.

Question

Aufgabe:

12. Berechnen Sie das Integral.
a) \( \int \limits_{1}^{\ln (2)}\left(e^{x}+1\right) d x \)
b) \( \int \limits_{0}^{\ln (3)}\left(e^{2 x}-x\right) d x \)
c) \( \int \limits_{1}^{2}\left(e^{\frac{x}{2}}-\ln (2)\right) d x \)
13. Berechnen Sie folgende Integrale.
a) \( \int \limits_{1}^{5} \frac{1}{x} d x \)
b) \( \int \limits_{-4}^{-2} \frac{1}{x} d x \)
c) \( \int \limits_{2}^{5} \frac{2}{x} d x \)
d) \( \int \limits_{1}^{4}\left(x^{2}-\frac{1}{x}\right) d x \)

Problem/Ansatz:

verstehe es nicht so ganz , kann wer helfen?

Answer 1

\( \int \limits_{1}^{\ln (2)}\left(e^{x}+1\right) d x \)

Da bestimmst du erst mal eine Stammfunktion für \( e^{x}+1 \)

(im Volksmund auch "Aufleiten" genannt) d.h. du suchst eine

Funktion, deren Ableitung \( e^{x}+1 \) ist.

In diesem Fall ist das z.B. \( e^{x}+x \).

Dann setzt du in diese Funktion die Grenzen des Integrals ein

und bestimmst die Differenz (obere minus untere) dieser Werte,

dann ist Schluss. Schreibweise etwa so:

\( \int \limits_{1}^{\ln (2)}\left(e^{x}+1\right) d x = [ e^{x}+x ]_{1}^{ln(2)}=(e^{ln(2)}+ln(2) )-(e^{1}+1 )\)

\( =2+ln(2)-e-1  =1+ln(2)-e \)  ≈ -1,025

Answer 2

b)\( \int \limits_{0}^{\ln (3)}\left(e^{2 x}-x\right) *d x \)= \( \int\limits_{0}^{\ln(3)}e^{2x}*dx-\int\limits_{0}^{\ln(3)}x*dx\)

Einschub:

\( \int\limits_{}^{}e^{2x}*dx \)

Substitution:

\( e^{2x}=u \)       \( 2x*ln(e)=ln(u) \)    \( x*1=\frac{ln(u)}{2} \)     \( dx=\frac{1}{2u}*du \) 

\( \int\limits_{}^{}u*\frac{1}{2u}*du=\int\limits_{}^{}\frac{1}{2}*du=\frac{1}{2}*u \)

Re-Substitution:

\( \int\limits_{}^{}e^{2x}*dx=\frac{1}{2}*e^{2x} \)

....