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Aufgabe:

Hallo!
Ich bin grad dabei die Konvergenz der Folge
an:= (3*n-1)/(n-cos(n2)
zu beweisen. Ich habe rausgefunden, dass der Grenzwert 3 ist. als nächstes wollte ich
|an-3| < epsilon
berechnen. Jedoch stoße ich auf Schwierigkeiten wie ich das ganze nach n auflösen kann.
Könnte mir das jemand vorführen…

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Naja, nach n auflösen dürfte schwierig sein, aber du musst ja auch

nur ein N=N(ϵ)N=N(\epsilon) angeben, so dass nNan3<ϵn\geq N\Rightarrow |a_n-3|< \epsilon.3n1ncos(n2)3=3cos(n2)ncos(n2)3ncos(n2)3n1.\left|\frac{3n-1}{n-\cos(n^2)}-3\right|=\left|\frac{3\cos(n^2)}{n-\cos(n^2)}\right|\leq\left|\frac{3}{n-\cos(n^2)}\right|\leq\left|\frac{3}{n-1}\right|.Dies ist <ϵ<\epsilon, wenn n>3/ϵ+1n>3/\epsilon + 1 ist.

Wähle daher eine nat. Zahl N(ϵ)N(\epsilon) mit N(ϵ)>3/ϵ+1N(\epsilon)> 3/\epsilon + 1.

Avatar von 29 k

Also ich habe die Ungleichung

3/(n-1)< epsilon

aufgelöst ist das dann n>(3+epsilon)/epsilon

stimmt ?

3n1<ϵ    n13>1ϵ    n1>3ϵ\frac{3}{n-1}<\epsilon\iff \frac{n-1}{3}>\frac{1}{\epsilon}\iff n-1>\frac{3}{\epsilon},

also stimmt es.

Kapiert! Vielen Dank :)

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