Konvergenz einer Folge beweisen mit Epsilon

Question

Aufgabe:

Hallo!
Ich bin grad dabei die Konvergenz der Folge
an:= (3*n-1)/(n-cos(n^2)
zu beweisen. Ich habe rausgefunden, dass der Grenzwert 3 ist. als nächstes wollte ich
|an-3| < epsilon
berechnen. Jedoch stoße ich auf Schwierigkeiten wie ich das ganze nach n auflösen kann.
Könnte mir das jemand vorführen…

Answer 1

Naja, nach n auflösen dürfte schwierig sein, aber du musst ja auch

nur ein \(N=N(\epsilon)\) angeben, so dass \(n\geq N\Rightarrow |a_n-3|< \epsilon\).$$\left|\frac{3n-1}{n-\cos(n^2)}-3\right|=\left|\frac{3\cos(n^2)}{n-\cos(n^2)}\right|\leq\left|\frac{3}{n-\cos(n^2)}\right|\leq\left|\frac{3}{n-1}\right|.$$Dies ist \(<\epsilon\), wenn \(n>3/\epsilon + 1\) ist.

Wähle daher eine nat. Zahl \(N(\epsilon)\) mit \(N(\epsilon)> 3/\epsilon + 1\).

Comments

Also ich habe die Ungleichung

3/(n-1)< epsilon

aufgelöst ist das dann n>(3+epsilon)/epsilon

stimmt ?

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\(\frac{3}{n-1}<\epsilon\iff \frac{n-1}{3}>\frac{1}{\epsilon}\iff n-1>\frac{3}{\epsilon}\),

also stimmt es.

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Kapiert! Vielen Dank :)