Bestimmen Sie \mathbb{L}(A_{x}, b_{y}) in Abhängigkeit von x und y .

Question

Für \( x, y \in \mathbb{R} \) seien
\( A_{x}:=\left(\begin{array}{ccc} x & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -2 \\ -1 & -1 & 0 \end{array}\right) \in \mathrm{M}_{3 \times 3}(\mathbb{R}) \quad \text { und } \quad b_{y}:=\left(\begin{array}{c} y \\ 4 \\ -y \end{array}\right) \in V_{3}(\mathbb{R}) \)
gegeben. Bestimmen Sie \( \mathbb{L}\left(A_{x}, b_{y}\right) \) in Abhängigkeit von \( x \) und \( y \). Bestimmen Sie weiter die Werte von \( x \) für die \( A_{x} \) invertierbar ist.

Guten Morgen oder Abend,
kann mir wer bitte zeigen, an der obigen Aufgabe, wie man die Abhängigkeit & die Werte für x bestimmt. LG

Answer 1

\(A_{x}:=\left(\begin{array}{ccc} x & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -2 \\ -1 & -1 & 0 \end{array}\right)\)

ist invertierbar, wenn die Determinnate D nicht 0 ist.

Es ist D= -2x, also A_x invertierbar für x≠0.

Für x≠0  existiert also für jedes y eine Lösung und zwar

\(  A^{-1}_x \cdot b_y = \left(\begin{array}{ccc} \frac{y-2}{x} \\ y-\frac{y-2}{x}  \\ (x-1) \cdot \frac{y-2}{x} \end{array}\right) \)

Für x=0 gibt es mit dem Gauss-Alg.

\(\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1&y \\ 0 & 2 & -2&4 \\ -1 & -1 & 0&-y \end{array}\right)\)

→ \(\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1&y \\ 0 & 1 & -1&2 \\ -1 & -1 & 0&-y \end{array}\right)\)

→ \(\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0&y-2 \\ 0 & 1 & -1&2 \\ -1 & -1 & 0&-y \end{array}\right)\)

Also gibt es für x=0 und y≠2 keine Lösung

und für x=0 und y=2 viele Lösungen, die alle so aussehen:

 \(\left(\begin{array}{ccc} z \\ 2+z \\ z \end{array}\right)\)