Dimension Körper Beweis

Question

Es seien \( m, n \in \mathbb{N} \) und \( (\mathbb{K},+, \cdot) \) sei ein Körper. Zeigen Sie:
\( \operatorname{dim}_{\mathbb{K}} \mathbb{K}^{m \times n}=m n . \)

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir jemand vielleicht Tipps geben, um die Aufgabe zu lösen. Habe einfach keine Idee.

Answer 1

Eine Basis von \( \mathbb{K}^{m \times n} \) ist die Menge

aller m x n Matrizen, die genau an einer Stelle eine 1 und

sonst alles 0en haben. Davon gibt es genau mn Stück.

Comments

Und wie verwende ich das dann in meinem Beweis für die Aufgabe?

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Du zeigst, dass die Menge dieser Matrizen linear unabhängig und ein Erzeugendensystem sind.

Dann hast du eine Basis mit m*n Elementen. Die Dimension ist gleich der Anzahl der Vektoren in einer Basis.

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okay und wie komme ich auf das Erzeugendensystem? Ich habe ja keine feste Anzahl an Spalten oder Zeilen gegeben.

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Oben steht doch wie die Basis aussieht? Dass es tatsächlich eine Basis ist musst du jetzt beweisen

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zum Beispiel im Fall 3 x 2 hast du 6 Matrizen als Basis, nämlich

\(  \begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1  \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0  \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0  \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0  \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0  \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Damit kannst du jede 3x2 Matrix \(  \begin{pmatrix} a & b  \\ c & d \\ e & f \end{pmatrix}\) als

Linearkombination erzeugen:

\(  a\begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0 & 1  \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} 0 & 0  \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)\(+d\begin{pmatrix} 0 & 0  \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+e \begin{pmatrix} 0 & 0  \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}+f\begin{pmatrix} 0 & 0  \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)