Pol zweiter Ordnung zeigt Gleichung

Question

Hallo ich soll zeigen, dass wenn f in z₀ einen Pol zweiter Ordnung besitzt folgendes gilt

\( \operatorname{Res}_{z_{0}} f=\lim \limits_{z \rightarrow z_{0}} \frac{d}{d z}\left(\left(z-z_{0}\right)^{2} f(z)\right) \)

Was wäre da eine mögliche Lösung für?

Answer 1

f habe in \(z_0\) einen (isolierten) Pol der Ordnung 2.

\(\Rightarrow g(z) = f(z)(z-z_0)^2\) hat eine hebbare Singularität bei \(z_0\)

\(\Rightarrow g(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\)

\(\Rightarrow f(z) = \frac{g(z)}{(z-z_0)^2} = \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^{n-2} =\frac{a_0}{(z-z_0)^{-2}} + \frac{a_1}{(z-z_0)^{-1}} + a_2 + \frac{a_3}{(z-z_0)} + \cdots\)

Das ist die Laurent-Reihe von f um \(z_0\). Das Residuum von f an der Stelle \(z_0\) ist der Koeffizient von \((z-z_0)^{-1}\). Also

\(Res_{z=z_0} f(z) = a_1 = \lim_{z\to z_0} \frac{d}{dz}(f(z)(z-z_0)^2)\)