Eine für dein Integral geeignete Anwendung des Residuensatzes bezieht sich auf Integrale der Form \(\int_{-\infty}^{\infty}\). Daher
(1): \(\int \limits_{0}^{\infty} \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} = \frac 12 \int \limits_{\color{blue}{-\infty}}^{\infty} \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\) aufgrund der Symmetrie des Integranden.
(2) Finde Polstellen des Integranden in der oberen komplexen Halbebene und deren Ordnung
\(f(z) = \frac{1}{\left(1+z^{2}\right)^{2}} = \frac{1}{(z-i)^2(z+i)^2}\)
\(\Rightarrow z=i\) ist einziger Pol zweiter Ordnung.von f in der oberen Halbebene
(3) Wende Residuenatz an:
\( \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} = 2\pi i Res_{z=i}f(z)\)
Dabei gilt
\(Res_{z=i}f(z)= \lim_{z\to i}\left(\frac{d}{dz}((z-i)^2\cdot f(z))\right)\)
\(=\lim_{z\to i}\left(\frac{d}{dz}\frac 1{(z+i)^2}\right) \)
\(=\lim_{z\to i}\left(-\frac{2 }{(z+i)^3}\right) =-\frac i4\)
Also
$$\int \limits_{0}^{\infty} \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} = \frac 12 \cdot 2\pi i \cdot \left(-\frac i4\right) =\frac{\pi}4$$
