Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
zu i) Hier würde ich den Integranden mit Hilfe der Additionstheoreme umformen:$$\phantom=\sin(5x)-\sin(x)=\red{\sin(3x+2x)}-\green{\sin(3x-2x)}$$$$=\red{\sin(3x)\cos(2x)+\cos(3x)\sin(2x)}-(\green{\sin(3x)\cos(2x)-\cos(3x)\sin(2x)})$$$$=2\cos(3x)\sin(2x)$$Damit vereinfacht sich das Integral:$$I_1=\int\limits_0^{\frac\pi2}\cos(3x)\sin(2x)\,dx=\frac12\int\limits_0^{\frac\pi2}(\,\sin(5x)-\sin(x)\,)\,dx$$$$\phantom{I_1}=\frac12\left[-\frac15\cos(5x)+\cos(x)\right]_0^{\frac\pi2}=\frac12\left((-0+0)-\left(-\frac15+1\right)\right)=-\frac25$$
zu ii) Hier können wir den Integranden so umformen, dass der Zähler die Ableitung des Nenners ist.
Das führt auf das Standard-Integral$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+\text{const}$$sodass hier gar nicht viel zu tun ist:$$I_2=\int\limits_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\frac{1}{\tan x}\,dx=\int\limits_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}\,dx=\int\limits_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\frac{\cos x}{\sin x}\,dx=\left[\ln\left|\sin x\right|\right]_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}=\ln(1)-\ln\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=\frac{\ln(2)}{2}$$
zu iii) Hier würde ich \((u\coloneqq x-4)\) mit \((du=dx)\) substituieren:$$I_3=\int\limits_4^8x\sqrt{x-4}\,dx=\int\limits_0^4(u+4)\sqrt u\,du=\int\limits_0^4u^{\frac32}\,du+4\int\limits_0^4u^{\frac12}\,du=\left[\frac{u^{\frac52}}{\frac52}\right]_0^4+4\left[\frac{u^{\frac32}}{\frac32}\right]_0^4$$$$\phantom{I_3}=\frac25\cdot4^{\frac52}+\frac83\cdot 4^{\frac32}=\frac25\cdot4^2\sqrt4+\frac23\cdot4\sqrt4=\frac{64}{5}+\frac{64}{3}=\frac{64\cdot3+5\cdot64}{15}=\frac{512}{15}$$
zu iv) Hier formen wir den Integranden so um, dass wir die Ableitung \((2e^{2x})\) der inneren Funktion \((\pink{e^{2x}+1})\) als Faktor erhalten. Dann können wir die Kettenregel der Differentialrechnung "rückwärts" anwenden und brauchen wieder fast nichts zu rechnen:$$I_4=\int\limits_{\ln\sqrt3}^{\ln\sqrt8}e^{2x}\sqrt{\pink{e^{2x}+1}}\,dx=\frac12\int\limits_{\ln\sqrt3}^{\ln\sqrt8}(2e^{2x})\left(\pink{e^{2x}+1}\right)^{\frac12}dx=\frac12\cdot\left[\frac{(\pink{e^{2x}+1})^{\frac32}}{\frac32}\right]_{\ln\sqrt3}^{\ln\sqrt8}$$$$\phantom{I_4}=\frac13\left[(e^{2x}+1)^\frac32\right]_{\frac12\ln3}^{\frac12\ln8}=\frac13\left((e^{\ln8}+1)^{\frac32}-(e^{\ln3}+1)^{\frac32}\right)=\frac13\left((8+1)^{\frac32}-(3+1)^{\frac32}\right)$$$$\phantom{I_4}=\frac13\left(3^3-2^3\right)=\frac{19}{3}$$
