Finden Sie alle ganzen Zahlen x, sodass 13x ≡ 3 (mod 2021) gilt

Question

Aufgabe:

Finden Sie alle ganzen Zahlen x, sodass 13x ≡ 3 (mod 2021) gilt

Problem/Ansatz:

Ich habe den ggT ausgerechnet (1) und das modulare Inverse…

Also sollte 311 * 13 ≡ 1 stimmen. Wie gehts jetzt weiter?

Answer 1

Hallo,

Wie würdest du vorgehen, um \(2x=3\) zu lösen? Richtig, du multiplizierst beide Seiten mit dem Inversen von \(2\), d. h. \(0.5\).

Hier ganz analog. Multipliziere beide Seiten mit \(13^{-1}=311\), du erhältst:$$13^{-1}\cdot 13x\equiv 13^{-1}\cdot 3\, \operatorname{mod}2021 \\ \Rightarrow x\equiv 331\cdot 3\, \operatorname{mod} 2021 \\ \Rightarrow x\equiv 993\, \operatorname{mod}2021$$ Das kannst du umschreiben zu \(x=933+2021k\) mit \(k\in \mathbb{Z}\).

Comments

Wieso ist 13^-1 = 331???

Kann mir das nochmal jemand erklären?

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Das ist falsch. Vermutlich ein Zahlendreher, dem aber auch niemand in der Antwort aufgefallen ist. Das Inverse von 13 ist 311 und nicht 331, da 13*311=1 mod 2021.

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Ja, muss 311 sein. Ist ein Tippfehler. Zwei Zeilen darüber steht es korrekt.

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13^-1 ist 311? Wenn man das im Taschenrechner eingibt kommt was anderes raus. Wie kommt auf die 311?

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Der Taschenrechner rechnet ja auch im Dezimalsystem mit reellen Zahlen.

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Kann man es irgendwie in den Taschenrechner eingeben?

Answer 2

Für alle Rechnungen gilt Modulo 2021:

Wenn 311 * 13 ≡ 1 gilt, dann gilt auch 933 * 13 ≡ 3

Wenn 933 * 13 ≡ 3 gilt, dann gilt auch (933 + k * 2021) * 13 ≡ 3

Also gilt x = 933 + k * 2021 mit k ∈ Z

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Vielen Dank :)