Zeige, dass dann auch die Positivkombination Σ_{n=0}^{∞}{n}

Question

Aufgabe:

Sei A eine σ-Algebra und seien µ₁, . . . , µ_n Maße auf A. Zeige, dass dann auch die Positivkombination \( \sum\limits_{i=1}^{n} \) c_i*μ_i :A→ℝ* mit c_i∈ℝ*_≥0 ein Maß auf A ist, wobei:

(\( \sum\limits_{i=1}^{n} \) c_i*μ_i)(A) = \( \sum\limits_{i=1}^{n} \) c_i*μ_i(A).

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R*=R ∪ {−∞,∞}

Defininition Maß: Ein Inhalt µ : A → ℝ*≥0 auf einer σ-Algebra A heißt Maß, wenn er σ-additiv
ist, d.h. wenn für jede disjunkte Familie H :ℕ → A gilt:

μ(∪_i∈ℕ H_i) = lim_n→∞(\( \sum\limits_{k=1}^{n} \)μ(H_i)

Answer 1

Sei also\(\{ A_{ n}\}_{ n \in \mathbb{N}}\) eine solche disjunkte Familie von Teilmengen aus \(\mathcal{A}\) mit
\(\begin{aligned} \bigsqcup_{k = 1}^{\infty} A_{ k} = A .\end{aligned}\) Wir finden
\(\begin{aligned}   \!\left( \sum_{k = 1}^{n}  c _{ k}\mu _{ k}\right)\! ( A) &= \sum_{k = 1}^{n} (  c _{ k}\mu _{ k})\!\left( \bigsqcup_{j = 1}^{\infty} A_{ j}\right)\! \\ &= \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{\infty} c _{ k} \mu _{ k}( A_{ j}) \\ &= \sum_{j = 1}^{\infty} \sum_{k = 1}^{n} c _{ k}\mu _{ k}( A_{ j}) \\ &= \sum_{j = 1}^{\infty} \sum_{k = 1}^{n} ( c _{ k}\mu _{ k}) ( A_{ j}) = \sum_{j= 1}^{\infty} \!\left( \sum_{k = 1}^{n} c _{ k}\mu _{ k}\right)\! ( A_{ j}) \end{aligned}\)
wie verlangt.