Dynkin-System:
Sei D eine Mengenfamilie, die X:=∪d∈Dd enthält. Außerdem sei für alle A∈D auch das Komplement X\A in D und für jede disjunkte Familie A:ℕ→D gelte (∪n∈ℕ An)∈D. Dann ist D ein Dynkin-System auf X.
Erzeugte σ-Algebra:
σ(E):= ∩A∈∑(E) A. ∑(E) ist die Menge aller σ-Algebren auf ∪e∈E e, die E als Teilmenge besitzen.
Aufgabe:
Sei E ein Schnittstabiles Mengensystem (Für alle A,B∈E gilt A∩B∈E) und seien u,v Maße auf σ(E), die auf E übereinstimmen. Weiter nehmen wir an, dass E:ℕ→E eine Folge von Mengen ist und mit ∪n∈ℕ En =X:= ∪e∈E e und u(En)<∞.
1) Für e∈E mit u(E)<∞ definieren wir De:={A∈σ(E):u(E∩A)=v(E∩A). Zeige dass, De ein Dynkin-System über X:=∪e∈E e ist.
2) Zeige σ(E)=De
