Monotonie erzeugte Sigma Algebra

Question

Aufgabe:

Sind E ⊂ F zwei ineinandergeschachtelte Familien mit der Eigenschaft ∪_e∈Ee = ∪_f∈Ff, so gilt die Monotoniebeziehung σ(E) ⊂ σ(F).

Für einen Ansatz wäre ich dankbar.

Comments

Hallo,

mal folgender Gedanke: Die Definition von erzeugter Sigma-Algebra ist:

$$\sigma(E)= \bigcap \{\mathcal{A} \mid E \sub \mathcal{A} \text{ und } \mathcal{A} \text{ ist Sigma-Algebra}\}$$

Wegen $E \sub F \sub \sigma(F)$ ist $\sigma(F)$ bei der Durchschnitts-Bildung zugelassen und daher $\sigma(E) \sub \sigma(F)$.

Problem: Ich habe die Eigenschaft mit der Vereinigung nicht ausgenutzt. Liegt das vielleicht daran, dass ich implizit davon ausgehe, dass immer eine gemeinsame Grundmenge $\Omega$ zugrunde liegt und diese durch die Vereinigungen erst herbeidefiniert werden muss?

Gruß mathhilf

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Vielen Dank für die Hilfe. Ja, bei uns im Skript steht ∩{A| E⊂A und A ist Sigma-Algebra auf ∪_e∈Ee}