Monotonie erzeugte Sigma Algebra

Question

Aufgabe:

Sind E ⊂ F zwei ineinandergeschachtelte Familien mit der Eigenschaft ∪_e∈Ee = ∪_f∈Ff, so gilt die Monotoniebeziehung σ(E) ⊂ σ(F).

Für einen Ansatz wäre ich dankbar.

Comments

Hallo,

mal folgender Gedanke: Die Definition von erzeugter Sigma-Algebra ist:

$$\sigma(E)= \bigcap \{\mathcal{A} \mid E \sub \mathcal{A} \text{ und } \mathcal{A} \text{ ist Sigma-Algebra}\}$$

Wegen \(E \sub F \sub \sigma(F)\) ist \(\sigma(F)\) bei der Durchschnitts-Bildung zugelassen und daher \(\sigma(E) \sub \sigma(F)\).

Problem: Ich habe die Eigenschaft mit der Vereinigung nicht ausgenutzt. Liegt das vielleicht daran, dass ich implizit davon ausgehe, dass immer eine gemeinsame Grundmenge \(\Omega\) zugrunde liegt und diese durch die Vereinigungen erst herbeidefiniert werden muss?

Gruß mathhilf

---

Vielen Dank für die Hilfe. Ja, bei uns im Skript steht ∩{A| E⊂A und A ist Sigma-Algebra auf ∪_e∈Ee}