Äquidistante Zerlegung und Untersumme bezüglich der Zerlegung

Question

Moinsen, ich schreibe bald eine Mathematik Klausur und bin echt ratlos bei der folgenden Aufgabe b-d.

b) ist damit 0, 1/3, 2/3, 3/3 oder 1/4, 2/4, 3/4, 4/4 gemeint, oder bin ich auf dem falschen Dampfer?

Für den Rest benötige ich eh erstmal b hehe, aber so richtig verstehen kann ich c und d auch nicht.

Ich bedanke und freue mich über jede Antwort :)

Text erkannt:

Aufgabe 3 (Quadraturformeln \( (*)) \).
a) Bestimmen Sie den Wert des Integrals \( I:=\int \limits_{0}^{1} e^{x} d x \) exakt und runden Sie diesen auf zwei Nachkommastellen (Taschenrechner!).
b) Bestimmen Sie die äquidistante Zerlegung \( Z_{3}=\left\{x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\} \) des Intervalls \( [0,1] \).
c) Bestimmen Sie die Untersumme zum Integral \( I \) bezüglich \( Z_{3} \) näherungsweise auf zwei Nachkommastellen genau (Taschenrechner!).
d) Bestimmen Sie mittels der summierten Trapezregel einen Näherungswert für \( I \) bezüglich \( Z_{3} \) auf zwei Nachkommastellen genau (Taschenrechner!).

Comments

0, 1/3... Ist korrekt, da du ja auch dein Intervall ab der 0 startet :)

c) Da solltest du dir klar machen, dass du die Untersumme suchst zu deiner Funktion e^x. Und diese Funktion ist monoton steigend in deinem Intervall von 0 bis 1.

Jetzt musst du einfach die Rechtecksflächen berechnen. Die Breite jedes Rechteck ist 1/3, so hast du ja gerade x0 und x1,... Gewählt, dass diese äquvidistant sind. Die Höhe deines Rechtecks ist nun immer durch den Funktionswert an der linke Stelle deines Rechtecks gegeben. Warum? Naja weil dort der Funktionswert am niedrigsten ist und wir wollen ja gerade die niedrigste Höhe in jedem Rechteck.

Das bedeutet für das erste Rechteck nimmst du die Höhe f(x0), für das zweite f(x1) und für das dritte f(x2). Das multiplizierst du mit deiner Höhe und rechnest dann alle Rechtecksflächen zusammen. Schon hast du die Untersumme.

Answer 1

Die Untersumme bei einer monoton steigenden Funktion sieht so aus

$$ U = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^2 e^{i \cdot \frac{1}{3}} = 1.448 $$ und die Trapezformel sieht so aus

$$ T = \frac{1}{3}  \left( \frac{1}{2} f(0) + \frac{1}{2} f(1) + \sum_{k=1}^2 f\left( k \cdot \frac{1}{3} \right)  \right) = 1.734 $$

Das exakte Ergebnis ist $$ I = e-1 = 1.718 $$

D.h. die Trapezformel ist sehr viel genauer als die Untersumme.

Die Obersumme wäre übrigens $$ O = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^3 e^{i \cdot \frac{1}{3}} = 2.021  $$

Comments

Du bist ein Engel dankesehr :)