totale Ableitung f(g,h,x)

Question

f(g,h,x)=g^2*h + h^2*x − 3gx^2

mit g(x)=x^3−7  und h(x)=(x+2)^2 .

ich muss f total ableiten nach x und weiß nicht wirklich wie

Answer 1

Hallo

 2 Möglichkeiten: 1. g und h einsetzen und dann differenzieren

2. erst mit Produkt und Kettenregel differenzieren dann g und g' usw  einsetzen-

der erste Term etwa g^2*h ist abgeleitet 2g*g'*h+g^2*h' entsprechend mit den anderen 2 Termin.

Gruß lul

Answer 2

f(g,h,x)= (x^3-7)^2(x+2)^2 + (x+2)^4*x- 3(x^3-7)^2*x^2

Viel Spaß mit dem Ungetüm!

Produkt- und Kettenregel

Answer 3

Da es hier ausdrücklich um die totale Ableitung geht, schlage ich den folgenden Lösungsweg vor.

Zuerst die totale Ableitung von \(f\) notieren: $$\frac{df}{dx}(f,g,x) = \frac{\partial f}{\partial g}\cdot \frac{dg}{dx} + \frac{\partial f}{\partial h}\cdot \frac{dh}{dx} + \frac{\partial f}{\partial x}\cdot \underbrace{\frac{dx}{dx}}_{=1}$$ Dann die folgenden Ausdrücke einsetzen: $$ \begin{array}{rcl} \frac{\partial f}{\partial g} & = & 2gh - 3x^2 \\ \frac{\partial f}{\partial h} & = & g^2+2hx \\ \frac{\partial f}{\partial x} & = & h^2-6gx \\ \frac{dg}{dx} & = & 3x^2 \\ \frac{dh}{dx} & = & 2(x+2) \end{array}$$