Zufluss-/Abflussrate eines Wassertanks

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Abbildung 1 stellt für einen Wassertank die Zufluss- bzw. Abflussrate (in \( \frac{m^{3}}{h} \) ) von Wasser für einen Beobachtungszeitraum von sechs Stunden dar. Zu Beginn der Beobachtung enthält der Tank \( 2 \mathrm{~m}^{3} \) Wasser. \( g^{\prime}(x) \) \( g(0)=2 \)
a Bestimmen Sie das Volumen des Wassers, das sich zwei Stunden nach Beobach- 2 tungsbeginn im Tank befindet.
b Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen, der die Entwicklung des Volumens des Wassers im Tank in Abhängigkeit von der Zeit darstellt.
3
NEW \( N \in W \)
Erwartungshorizont
a Zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn befinden sich etwa \( 5,8 \mathrm{~m}^{3} \) Wasser im Tank.
\( \mathbf{b} \)

Problem/Ansatz:

Hallo alle zusammen,

Meinen Ansatz seht ihr ja oben im Bild. Wobei ich auch zwei andere Ansätze htte und da versucht hatte eine Fubktionsglrichung aufzustellen, dabei aber gescheitert bin. Vor allem, weil ich ja nicht den Grad der Funktion sicher bestimmen kann. Es wäre also total lieb, wenn mir jemand bitte erklären könnte, wie man auf die 5,8 m³ kommt.

LG

Answer 1

Bei dem Graph würde ich einen Sinus zum Modellieren nehmen:

Bezeichne also \(r(t)\) die Zu- und Abflußrate:

$$r(t) = 3\sin \frac{\pi}{4}t$$

Die Menge nach 2 Stunden ist dann

$$2+3\int_0^2 \sin\frac{\pi}{4}t\; dt = 2+3\left[-\frac 4{\pi}\cos\frac{\pi}{4}t \right]_0^2 $$ $$=2 -\frac{12}{\pi} \left( \cos \frac{\pi}2 - \cos 0\right)= 2+ \frac{12}{\pi}\approx 5.82$$

(b) ist dann nur Zeichnen der passend verschobenen Stammfunktion.

Comments

Genau, das war auch mein erster Ansatz. Aber ich hatte beim Integrieren am Ende -12/pi + 12/pi = 0. Beim Aufleiten habe ich nämlich die 3 mal 4/pi gerechnet, weil ich dachte Innere Aufteilung mal äußere, aber das ist scheinbar falsch. Wir haben das Integrieren von Winkelfunktionen kaum gemacht, deshalb frage ich nochmal lieber nach: Wenn vor dem Sinus eine Zahl steht, dann brauche ich sie nicht zu integrieren, oder?

---

Der konstante Faktor bleibt auch beim Integrieren ein konstanter Faktor. Ich ergänze mal die Berechnung in der Lösung, so dass du das besser sehen kannst.

---

Wow danke schön. Meine erste Lösung war somit richtig, ich hattebloß vergessen +2 zu rechnen. Das ist gerade echt eine Erleichterung, danke ^^

---

Kann mir bitte jemand erklären wie man da auf 3sin Pi/4tel kommt?

---

Amplitude ist 3 und die halbe Periode 4. Das kommt einfach in die Funktionsgleichung.

Schau dir evtl. mal ein Grundlagenvideo an, wie man eine Sinusfunktion aufstellt.

Answer 2

Hallo

alleine dass du sowas wie 2+2=4+3 hinschreiben kannst ist schlimm. Kleine Kids verwendb das = Zeichen manchmal mit "ich will rechnen" In der Oberstufe so7llte man wissen dass 4=7 IMMER falsch ist.

2, um aus g' (x) g (2) zu bestimmen wenn man einen Graphen nur als Skizze hat nimmt man die Maßzahl der Flache unter dem Graphen. von 0 bis 2  du hast die Änderun am Ende der ersten Stunde für die ganze erste Stunde genommen, entsprechend für die 2 te Stunde.-

dadurch ist auch dein Bild falsch.

Gruß lul

Comments

Das weiß ich doch auch Du musst dir aber vorstellen, dass ich so lange an der Aufgabe saß, dass ich am Ende aus Verzweiflung so banale Rechnungen gemacht hab. Die ganzen anderen Versuche und das Gleichungssystem, was ich gelöst habe usw habe ich hier nicht hochgeladen, weil das handschriftlich Notizen sind.

Deiner weiteren Erklärung kann ich gerade nicht wirklich verstehen. Ich weiß ja, dass das Bild falsch ist, aber warum versteh ich noch nicht.

Answer 3

a) Integriere von 0 bis 2

f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx +e

Du hast 5 Punkte zum Einsetzen (ablesen im Bild)

Comments

Okay danke, aber woher weiß ich denn, dass es eine Funktion 4. Grades ist ?

Ich hab es nämlich schon mit dem Bestimmen der Fkt.-Gleichung mithilfe von Punkten versucht, aber als Ansatz f(x)= ax³ + bx² + cx + d gehabt, was ja falsch ist

---

Es steht nirgends in der Aufgabe, dass du den Funktionsterm bestimmen sollst.

In der Aufgabenstellung steht "Bestimme". Das kann hier locker durch näherungsweise grafische Flächenbestimmung erfolgen.

Und auch wenn man grafisch nicht exakt auf 5.8, sondern auf 6 kommt, wäre das auch nicht so dramatisch.

Schau dir doch den Erwartungshorizont an. Ist dort irgendeine Rechnung zu sehen. Nein auch nur eine näherungsweise Abschätzung der Fläche.

Das ist eine Aufgabe aus dem Hilfsmittelfreien Teil im Abitur.

---

Ich finde solche Aufgaben fies und blöd.

Jetzt man schon die Fkt. selber suchen. Und das in einer Prüfung.

Das kann hier locker durch näherungsweise grafische Flächenbestimmung erfolgen.

Plötzlich ist Genauigkeit unwichtig.

Toll in der sonst so exakten Mathematik!

Für mich ist das reine Schikane und Notenbremse.

Neues Lernziel: Munteres Funktionserraten

---

Plötzlich ist Genauigkeit unwichtig.

Die meisten Schüler bekommen es ja nicht mal hin, eine Fläche näherungsweise zu bestimmen.

Das keine Funktion 3. Grades dargestellt ist, sieht man das die Extrempunkte mittig zwischen jeweils zwei Nullstellen liegen.

Das lässt dann schon eher eine trigonometrische Funktion vermuten.

Aber wie gesagt. Man brauch nur mal in den Erwartungshorizont schauen um zu sehen was erwartet wird.

Irgendwo muss ja auch das Verhältnis von Punkten und Leistung stimmen.

Deswegen ist es auch wichtig, in welchem Rahmen diese Aufgabe gestellt ist.

Answer 4

Schöne Aufgabe. Hier nur die Graphen zur Verwendung:

~plot~ 3·sin(pi/4·x);2+12/pi-12/pi·cos(pi/4·x);[[0|6|-4|10]] ~plot~