Betragsgleichungen lösen, Definitionsmenge

Question

Hallo!

Aufgabe:es geht hier wieder um Betragsgleichungen. Ich soll diese Gleichung lösen, aber wie genau soll ich hier vorgehen? Ich hab da mal einen Ansatz, aber der scheint mir nicht richtig.

\( \frac{2 x-1}{|x-2|+1}=-1 \)

Problem/Ansatz:

 \( \frac{2 x-1}{|x-2|+1}=-1 \)
\( 2 x-1=-1|x-2|+1 \)
1. \( F: \quad x<2 \Rightarrow|x-2| E-(x-2) \)
\( \begin{aligned} \frac{2 x-1}{-(x-2)+1}=-1 \Longrightarrow & 2 x-1=-1-x+2+1 \\ & 2 x-1=-x+2\end{aligned} \)
\( 3 x=3 \Longleftrightarrow x=1  \)

Answer 1

Ja, es ist richtig, im Fall x<2 den Nenner links umzuformen zu -(x-2)+1.

Bevor du mit weiteren Rechnungen alles verschlimmerst, solltest du aber diesen Nenner vereinfachen zu (-x+3)

Der nächste Rechenbefehl für die Gleichung lautet dann

| * (-x+3).

Wie bei Anwendung dieses Rechenbefehls die rechte Seite (auf der vorher nur "-1" stand) hinterher aussieht, solltest du nochmal überlegen.

Comments

Ups, stimmt. Und was ist mit dem 2. Fall, also x >2?

Also so:

f) \( \frac{2 x-1}{|x-2|+1}=-1 \)
1.Fall: \( x<2 \Rightarrow|x-2|=-(x-2) \)
\( \frac{2 x-1}{-(x-2)+1}=-1 \Leftrightarrow \frac{2 x-1}{-x+2+1}=-1 \)
\( \frac{2 x-1}{-x+3}=-1 \Leftrightarrow 2 x-1=-1 \cdot(-x+3) \)
\( 2 x-1=x-3 \)
\( 2 x-\bar{x}=-3+1 \)
\( \quad x=-2 \)
\( 2 . Fall: x>2 \Rightarrow|x-2|=x-2 \)
\( \frac{2 x-1}{|x-2|+1}=-1 \)
\( 2 x-1=-1(x-2+1) \)
\( 2 x-1=-(x-1) \Leftrightarrow 2 x-1=-x+1 \)
\( 2 x+x=1+1 \Leftrightarrow 3 x=2 \Rightarrow x=\frac{2}{3} \)

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Vergleiche deine Lösungen jeweils mit den für den jeweiligen Fall vorgenommenen Festlegungen.

Wenn du unter der Annahme x<2 die Lösung x=-2 bekommst, entspricht die Lösung der Annahme.

Wenn du unter der Annahme x>2 (besser: x≥2)  die Lösung x=2/3 bekommst, widerspricht diese Lösung der Annahme x>2.

Die Abbildung zeigt zur Verdeutlichung die Funktionsterme der linken und der rechten Seite.

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2/3 ist ja nicht dabei, also die Lösungsmenge lautet -2.

stimmt meine Berechnung mit dem Fall 2 nicht? Ich muss ja immer die Fallunterscheidung machen und dann schauen, ob das Ergebnis in der Lösungsmenge enthalten ist.

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Die Berechnung stimmt durchaus, ergibt aber eine Scheinlösung.

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Ja, da \( \frac{2}{3} \) nicht größer 2 ist, also \( \frac{2}{3} \) ist kleiner 2, denn es gilt ja x>2 und 2/3 ist kleiner als 2, daher ist diese Lösung nicht dabei, nur x=-2 wäre die Lösung, richtig?

Answer 2

Dein Ansatz war sehr gut. Du hattest nur einen kleinen Rechenfehler.

Ich zieh mal die Lösung mit deinem Ansatz komplett durch: $$\begin{array}{rcl} \frac{2x-1}{|x-2|+1} & = & -1 \\   & \stackrel{|x-2|+1\geq 1}{\Leftrightarrow }& \\  2x-1 & = & -|x-2|\color{blue}{-1} \\   & \Leftrightarrow & \\ -2x & = & |x-2| \quad (1)\end{array}$$ Da \(|x-2| \geq 0\), kann die Gleichung (1) offenbar nur Lösungen für \(\boxed{x<0}\) haben.

Jetzt kannst du per Quadrieren fortfahren oder dir ist klar, dass \(x<0 \Rightarrow |x-2| = -x+2\). Also $$\begin{array}{rcl} \\ -2x & = & |x-2| \\ & \stackrel{|x-2| \stackrel{x<0}{=} -x+2}{\Leftrightarrow }& \\ -2x & = & -x+2 \\ & \Leftrightarrow & \\ x & = & -2 \end{array}$$

Comments

Danke dir vielmals trancelocation! Ich komme nun auf dieselbe Lösung. Aber stimmt meine obige Überlegung bzw. mein Kommentar?