0 Daumen
1,4k Aufrufe

Kann man Betragsgleichungen mit mehreren Beträgen, einfach lösen, also ohne das man zich Fälle bilden muss?

z.b. |8x−4|≤|x+1|+|1−2x|


Ich hätte nun nämlich 9 Fälle gebildet, was sehr mühsam ist.

Avatar von

Wie kommst du denn auf 9 Fälle?

3 reichen aus.

Betrachte die Nullstellen der Beträge.

Damit ergeben sich die Intervalle, die du untersuchen musst.

2 Antworten

0 Daumen

Es gibt nur 3 Fälle

Bild Mathematik

Geht vielleicht noch leichter.
Kommt gleich.

Avatar von 123 k 🚀

| 8x−4 | ≤ | x+1 | + | 1−2x |
4 * | 2x− 1 | ≤ | x+1 | + | 1−2x |
| 2x− 1 | dürfte dasselbe sein wie | 1−2x |
4 * | 1− 2x | ≤ | x+1 | + | 1−2x |
3 * | 1− 2x | ≤ | x+1 |
Alles positive Terme.
Für das Quadrat stimmt die Relation auch.
( 3 * | 1− 2x | ) ^2 ≤  ( x+1 ) ^2
9  * ( 1− 2x )^2 ≤  ( x+1 ) ^2

2/7 < x < 4/5

0 Daumen

Man kann zunächst mal etwas vereinfachen:$$ \begin{aligned} \left|8x-4\right| &\le \left|x+1\right|+\left|1-2x\right| \quad\Leftrightarrow \\\,\\ 8\cdot\left|x-\dfrac 12\right| &\le \left|x+1\right|-2\cdot\left|x-\dfrac 12\right| \quad\Leftrightarrow \\\,\\ 10\cdot\left|x-\dfrac 12\right| &\le \left|x+1\right|\end{aligned} $$

Hm...
Ergänzung: Es muss natürlich
\(+2\) (2. Zeile) und \(6\) statt \(10\) (3. Zeile)
heißen.

Avatar von 26 k

Hi, ich sitze gerade vor so einen ähnlichen Problem, da werde ich aber später eine neue Frage aufmachen.


Bei der nun vereinfachen Ungleichung, kann man doch nun einfach quadrieren und nach x auflösen oder?

Was willst du denn mit dem Quadrieren erreichen?

Will damit die Beträge wegbekommen

Warum heißt es denn +2 in Zeile 2? bzw. warum stimmt -2 nicht? Man klammert doch -2 aus?

Ich habe \(-2\) ausgeklammert, hätte aber \(|-2|=2\) ausklammern müssen.

Du kannst quadrieren, um die Beträge loszuwerden. viel Arbeit spart das meiner Meinung nach in diesem Falle nicht, aber möglich ist es.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community