Betragsgleichungen einfacher lösen

Question

Kann man Betragsgleichungen mit mehreren Beträgen, einfach lösen, also ohne das man zich Fälle bilden muss?

z.b. |8x−4|≤|x+1|+|1−2x|

Ich hätte nun nämlich 9 Fälle gebildet, was sehr mühsam ist.

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Wie kommst du denn auf 9 Fälle?

3 reichen aus.

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Betrachte die Nullstellen der Beträge.

Damit ergeben sich die Intervalle, die du untersuchen musst.

Answer 1

Es gibt nur 3 Fälle

Geht vielleicht noch leichter.
Kommt gleich.

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| 8x−4 | ≤ | x+1 | + | 1−2x |
4 * | 2x− 1 | ≤ | x+1 | + | 1−2x |
| 2x− 1 | dürfte dasselbe sein wie | 1−2x |
4 * | 1− 2x | ≤ | x+1 | + | 1−2x |
3 * | 1− 2x | ≤ | x+1 |
Alles positive Terme.
Für das Quadrat stimmt die Relation auch.
( 3 * | 1− 2x | ) ² ≤  ( x+1 ) ²
9  * ( 1− 2x )² ≤  ( x+1 ) ²

2/7 < x < 4/5

Answer 2

Man kann zunächst mal etwas vereinfachen:$$\begin{aligned} \left|8x-4\right| &\le \left|x+1\right|+\left|1-2x\right| \quad\Leftrightarrow \\\,\\ 8\cdot\left|x-\dfrac 12\right| &\le \left|x+1\right|-2\cdot\left|x-\dfrac 12\right| \quad\Leftrightarrow \\\,\\ 10\cdot\left|x-\dfrac 12\right| &\le \left|x+1\right|\end{aligned}$$

Hm...
Ergänzung: Es muss natürlich
$+2$ (2. Zeile) und $6$ statt $10$ (3. Zeile)
heißen.

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Hi, ich sitze gerade vor so einen ähnlichen Problem, da werde ich aber später eine neue Frage aufmachen.

Bei der nun vereinfachen Ungleichung, kann man doch nun einfach quadrieren und nach x auflösen oder?

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Was willst du denn mit dem Quadrieren erreichen?

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Will damit die Beträge wegbekommen

Warum heißt es denn +2 in Zeile 2? bzw. warum stimmt -2 nicht? Man klammert doch -2 aus?

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Ich habe $-2$ ausgeklammert, hätte aber $|-2|=2$ ausklammern müssen.

Du kannst quadrieren, um die Beträge loszuwerden. viel Arbeit spart das meiner Meinung nach in diesem Falle nicht, aber möglich ist es.