Betragsgleichungen lösen. −|x + 1| + |2 − x| = |x| − 6

Question

Ich verstehe leider die Vorgehensweise bei Betragsgleichungen nicht, die Fallunterscheidung verstehe ich halbwegs, bin mir jedoch nicht sicher ob ich diese hier anweden muss.

Hier die Gleichung

−|x + 1| + |2 − x| = |x| − 6

Answer 1

−|x + 1| + |2 − x| = |x| − 6

die Nullstellen der Term in den Beträgen sind  x = -1, x = 2 und x = 0

diese teilen die Zahlengerade in die Intervalle ] - ∞ ; -1 [  ; [ -1 ; 0 ] , ] 0 ; 2 ] und ] 2 ; ∞ [ ein

jeder der Terme in den Beträgen hat in diesen Intervallen ein gleichbleibendes Vorzeichen:

            ] - ∞ ; -1 [            [ -1 ; 0 ]          ] 0 ; 2 ]         ] 2 ; ∞ [

x+1          -                           ≥0                   +                   +

2-x           +                           +                    ≥0                 -

x               -                           ≤0                   +                   +

Dann kann man die Beträge ersetzen:

Betrag fällt weg, wenn Term ≥ 0

Betrag wird durch Minuszeichen vor dem Term ersetzt, wenn Term < 0

Man hat also in den 4 Fällen jeweils eine betragsfreie Gleichung, die man leicht lösen kann:

Fall 1:  x ∈   ] - ∞ ; -1 [

x + 1 + 2 - x = - x - 6  ↔ x = -9 ∈  ] - ∞ ; -1 [    →  L₁ = {-9 } 

Fall 2: x ∈ [ -1 ; 0 ]  

- x - 1 + 2 -  x  =  - x - 6  ↔  x = 7 ∉ [ -1 ; 0 ]   →  L₂ = { }

Fall 2: x ∈  ] 0 ; 2 ]  

- x - 1 + 2 - x  =  x - 6   ↔  x = 7/3 ∉ ] 0 ; 2 ]   →  L₃ = { }

Fall 4: x ∈ ] 2 ; ∞ [ 

- x - 1 - 2 +  x  =  x - 6   ↔  x = 3 ∈  ] 2 ; ∞ [    →  L₄ = {3}

Die Vereinigung der einzelnen Lösungsmengen ergibt dann die Gesamtlösungsmenge

L = { -9 ; 3 }

Gruß Wolfgang

Comments

Dank Ihnen habe ich es endlichen verstanden, super!

Jedoch bin ich mir noch unklar wie Sie auf die Intervalle gekommen sind.

Wie haben Sie diese von der Ursprungsgleichung abgelesen?

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die Nullstellen der Terme in den Beträgen sind  x = -1, x = 0 und  x = 2

Das sind die Intervallgrenzen (zusammen mit ±∞)