(a)
\(c_nY_n\) soll erwartungstreu \(\theta\) schätzen. Berechne also zuerst
\(E(Y_n) = \int_{-\infty}^{\infty}yf_{Y_n}(y)\; dy = \frac n{\theta^n}\int_{0}^{\theta}y^n\; dy = \frac{n}{n+1}\theta\)
\(\Rightarrow c_n =\frac{n+1}n\)
\(\Rightarrow \frac{n+1}n Y_n\) ist erwartungstreu.
(b)
Bezeichne \(Z_n = \frac{n+1}n Y_n\). Es ist also \(E(Z_n) = \theta\):
\(Var(Z_n) = E(Z_n^2) - E(Z_n)^2 =\left(\frac{n+1}{n}\right)^2E(Y_n^2)-\theta^2\)
\(E(Y_n^2)= \int_{-\infty}^{\infty}y^2f_{Y_n}(y)\; dy = \frac n{\theta^n}\int_{0}^{\theta}y^{n+1}\; dy = \frac{n}{n+2}\theta^2\)
\(\Rightarrow Var(Z_n) = \left(\frac{n+1}{n}\right)^2\frac{n}{n+2}\theta^2-\theta^2 =\boxed{\frac n{n+2}\theta^2}\)
MSE ("Mittlere quadratische Abweichung"): Sowohl für \(Z_n\) als auch für \(2\overline{X}_n\) sind MSE und Varianz gleich. Siehe dazu die Definition von MSE.
Um die Varianz von \(2\overline{X}_n\) zu berechnen, benötigen wir die Varianz der \((0,\theta)\)-Rechteckverteilung: \(Var(X_i) =\frac 1{12}\theta^2\) (siehe zum Beispiel hier). Damit
\(Var(2\overline{X}_n)= \frac 4{n^2}\sum_{i=1}^nVar(X_i) = \frac 1{3n}\theta^2 \)
Damit folgt, dass \(Z_n\) kein konsistenter Schätzer für \(\theta\) ist im Gegensatz zu \(2\overline{X}_n\). Mit zunehmendem Stichprobenumfang strebt die Varianz von \(2\overline{X}_n\) gegen Null während sie bei \(Z_n\) gegen \(\theta^2\) strebt.
\(2\overline{X}_n\) ist daher ein besserer Schätzer für \(\theta\), da mit zunehmendem Stichprobenumfang die Wahrscheinlichkeit stärkerer Abweichungen von \(\theta\) gegen Null strebt.
