Exponentialgleichung richtig lösen

Question

Hallo!

Könnt ihr mir erklären, wie ich hier genau vorgehen muss?

Aufgabe:

\( 16^{x}+16=10 \cdot 4^{x} \)

Mein Ansatz wäre:

\( \left(4^{2}\right)^{x}+4^{2}=10 \cdot 4^x \)
\( 4^{2 x}+4^{2}=10 * {4^x} \)

Answer 1

Substituiere 4^x=z und löse z²+16=10z.

Vergiss dann nicht die Rücksubstitution.

Comments

Also so?

g)
\( \begin{array}{l} 16^{x}+16=10 \cdot 4^{x} \\ 4^{2 x}+4^{2}=10 \cdot 4^{x} \\ 4 x=z \\ z^{2}+16=10 \cdot z \\ z^{2}-10 z+16=0 \\ (z-5)^{2}-25+16=0 \\ (z-5)^{2}=9 \Rightarrow z-5=3 \end{array} \)
1. Fall: \( \quad z-5=3 \)
\( z=8 \)
2. Fall: \( -(z-5)=3 \)
\( \begin{array}{l} z-5=-3 \\ z=2 \end{array} \)
Rücksubstitution:
\( \begin{array}{l} 4^{x}=8 \\ 2^{2 x}=2^{3} \\ 2 x=3 \\ x=\frac{3}{2} \end{array} \)

\( \begin{aligned} 4^{x} & =2 \\ 2^{2 x} & =2^{1} \\ 2 x & =1 \\ x & =\frac{1}{2} \\ L & =\left\{\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\}\end{aligned} \)

Answer 2

4^(2x) -10*4^x +16=0

z^2-10z+16 =0

mit Vieta:

(z-8)(z-2)=0

Satz vom Nullprodukt:

...

Dann noch resubstituieren.

Comments

Achh stimmt, ich kann ja (z-8) (z-2). Ich brauch da gar nicht quadratisch ergänzen. Oben habe ich die vollständige Rechnung gepostet. Passt das so?

Answer 3

Weg ohne Substitution:

\(4^{2 x}+4^{2}=10 * {4^x} \)

\(4^{2 x}-10 * {4^x}=-4^{2} \)

\((4^{ x}-5 )^2=-4^{2}+25=9|\sqrt{~~} \)

1.)\(4^{ x}-5 =3 \)

\(4^{ x}=8 \)

\(x*ln(4)=ln(8)=ln(2^3)=3*ln(2) \)

\(x*ln(2^2)=3*ln(2) \)

\(x*2*ln(2)=3*ln(2) \)

\(x₁=\frac{3}{2} \)

2.)\(4^{ x}-5 =-3 \)

\(4^{ x} =2 \)

\(x₂ =\frac{1}{2} \)

Comments

Vielen Dank Moliets!

Ich wusste nicht, dass man die Rechnung auch so lösen kann