Aufgabe:
a) Im Laufe des Jahres 2021 wurden vom Paul-Ehrlich-Insititut (im Verbund mit
Forschenden anderer Institutionen) in einer größeren Studie 122 verschiedene COVID-19-
Antigen-Schnelltests auf ihre Sensitivität hin untersucht, d.h. auf die Wahrscheinlichkeit,
dass eine Person, die tatsächlich infiziert ist, vom jeweiligen Test auch als infiziert erkannt
wird. Damit die Tests zur Eindämmung des Pandemiegeschehens beitragen und offiziell
zugelassen sind, müssen bezüglich der Sensitivität und der Spezifität gewisse Mindestkriterien für den Nachweis von SARS-CoV-2 erfüllt sein. Gemäß der damaligen EU-Richtlinie konnten die Hersteller ihre Tests zu diesem Zeitpunkt (bis Mai 2022) allerdings noch selbst zertifizieren.
Für die zentrale Untersuchung der Sensitivität der 122 Antigen-Schnelltests durch die
Forschenden wurde ein gemeinsames Bewertungspanel verwendet, das vom Robert-Koch Institut hergestellt wurde. Als untere Schranke für die zulässige Sensitivität wurde ein Wert
von 75% festgelegt (bezogen auf einen Ct-Wert < 25). Beim Ergebnis dieser Untersuchung
variierten die Ergebnisse stark (vgl. Ergebnisliste (Archivversion) auf der Homepage des
PEI). 26 der Tests erfüllten die Minimalanforderung an die Sensitivität nicht. Aber auch
bei den Schnelltests, die die Anforderungen erfüllten, gab es erhebliche Unterschiede bei
den Sensitivitätswerten. Um uns die Bedeutung dieser Ergebnisse zu veranschaulichen,
wollen wir die nachfolgenden Fragestellungen für zwei der festgestellten Werte diskutieren.
Wir gehen davon aus, dass die Spezifität aller Schnelltests den festgelegten Minimalwert
von 97% erfüllt, d.h. es werden 97% der nicht infizierten Personen richtig klassifiziert, und
dass 10% der betrachteten Gruppe von Testpersonen infiziert sind (nach Angaben des RKI
waren Mitte Januar 2022 in Deutschland ca. 750000 Personen (nachweislich) infiziert, was
etwa 0.01% der Bevölkerung entspricht; Genesene werden hierbei nicht berücksichtigt).
Diskutieren Sie die folgenden Fragestellung jeweils einmal für eine Sensitivität von 75%
und einmal für eine Sensitivität von 99%. Runden Sie Ihre Ergebnisse hierbei jeweils auf
drei Stellen hinter dem Komma.
(i) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Schnelltest einer Testperson negativ
ausfällt, obwohl die Person infiziert ist.
(ii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Schnelltest einer Testperson positiv
ausfällt.
(iii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Testperson infiziert ist, obwohl der
Schnelltest negativ ausgefallen ist.
(b) (4 Punkte) Für einen Großhandel werden Glühbirnen in drei Fabriken produziert. Die
erste Fabrik produziert 10%, die zweite 20% und die dritte Fabrik produziert 70% des
Gesamtbestandes. Dabei produziert die erste Fabrik 1%, die zweite 2% und die dritte Fabrik
7% Ausschuss, d.h. 1%(2%, 7%) der von der ersten (zweiten, dritten) Fabrik produzierten Glühbirnen sind defekt.
(i) Es wird nun willkürlich eine Glühbirne aus dem Lager gewählt. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass diese Glühbirne defekt ist?
(ii) Es wird nun willkürlich eine Glühbirne aus dem Lager gewählt und als defekt erkannt.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Glühbirne aus der ersten Fabrik kommt?
Geben Sie hiefür zunächst die entsprechende Formel an.
Runden Sie Ihre Ergebnisse, falls nötig, auf vier Nachkommastellen.
Problem: Wie berechnet man diese Aufgaben ohne während der Rechnung durcheinander zukommen? Bin leider dezent verwirrt wie ich es angehen soll, wäre sehr lieb wenn jemand hierzu anschauliche Lösungs+Rechenwege hat. MfG
