Zeigen Sie, dass für die Höhenwachstumsrate der Pflanze Folgendes gilt: g: t - 0,512×t×e-0,64t

Question

Aufgabe:

Die Höhe einer Pflanze wird näherungsweise beschrieben durch:

h: t -> -1/20(25+16t)e^-0,64t+1,4       t>= 0

Die Zeit t wird ab dem Einpflanzen in Monaten gemessen, die Höhe wird in Metern angegeben.

1. Geben Sie die Höhe der Pflanze beim Einpflanzen an.

2. Zeigen Sie, dass für die Höhenwachstumsrate der Pflanze Folgendes gilt: g: t -> 0,512×t×e^-0,64t

Begründen Sie Ihr Vorgehen in Bezug auf den Sachzusammenhang

3. Begründen Sie kurz auf mathematischer Ebene: Die Höhe der Pflanze ist monoton zunehmend. Geben Sie die theoretische Maximalwert der Pflanze an. Begründen Sie Ihre Rechnung unter Zurückführung auf die Grenzwertregeln.

4. Untersuchen Sie nach geeigneter Kurvendiskussion die Höhenwachstumsrate anhand folgender Kriterien:

• Für welchen Zeitpunkt ist die Höhenwachstumsrate extremal?

• Handelt es sich um ein Maximum oder ein Minimum?

• Wie hoch ist die extremale Höhenwachstumsrate? Welche absolute Höhe hat die Pflanze zu diesem Zeitpunkt?

Antworten Sie in einem vollständigen Satz unter Verwendung der passenden Einheiten.

…

Problem/Ansatz:

Ich habe Schwierigkeiten die ganze Aufgabe zu lösen, da wir die e-Funktionen im Unterricht nur kurz angeschnitten haben. Wäre super, wenn mir jemand beim Lösen helfen und es evtl. auch erklären könnte

Answer 1

Hallo,

1. Geben Sie die Höhe der Pflanze beim Einpflanzen an.

Berechne h(0)

2. Zeigen Sie, dass für die Höhenwachstumsrate der Pflanze Folgendes gilt: g: t -> 0,512×t×e-0,64t

Bestimme die 1. Ableitung der Funktion, die g ergeben sollte

3. Begründen Sie kurz auf mathematischer Ebene: Die Höhe der Pflanze ist monoton zunehmend. Geben Sie die theoretische Maximalwert der Pflanze an. Begründen Sie Ihre Rechnung unter Zurückführung auf die Grenzwertregeln.

Was kannst du über das Verhalten der Funktion sagen, wenn du für t immer größere Werte einsetzt?

4. Untersuchen Sie nach geeigneter Kurvendiskussion die Höhenwachstumsrate anhand folgender Kriterien:

• Für welchen Zeitpunkt ist die Höhenwachstumsrate extremal?

Bestimme den Wendepunkt von h

• Handelt es sich um ein Maximum oder ein Minimum?

Erstelle z.B. eine Vorzeichentabelle

• Wie hoch ist die extremale Höhenwachstumsrate?

Setze dein Ergebnis in die 1. Ableitung ein.

Welche absolute Höhe hat die Pflanze zu diesem Zeitpunkt?

Setze dein Ergebnis in die Ausgangsfunktion ein.

Gruß, Silvia

Comments

Hii Silvia, danke dir. Aber wie berechnet man das mit dem e^-0,64t? Muss man das in den Berechnungen berücksichtigen oder einfach ganz normal die Kurvendiskussion machen wie bei den anderen Funktionen. Soll das t quasi das x sein?

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h ( t ) = -1/20 ( 25+16t ) * e^(-0,64t)+1,4 
oder mit x
h ( x ) = -1/20 ( 25+16x ) *  e^(-0,64x)+1,4 

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Genau, du behandelst das t wie ein x.

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Okay, alles klar. Danke euch beiden :)