Zeigen Sie, dass jede Funktion f : X → R in a stetig ist.

Question

Aufgabe:

Sei X ⊆ R und a ∈ X ein isolierter Punkt von X, d.h. es gibt ein δ > 0 so, dass (a − δ, a + δ) ∩ X = {a} ist. Zeigen Sie, dass jede Funktion f : X → R in a stetig ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung, was man hier machen soll beziehungsweise welche Idee hier dahinter steckt...

Answer 1

a)  stetig in a heißt doch

Zu jedem ε> 0 gibt es ein δ>0 mit |f(x)-f(a)| < ε  für alle x∈D mit |x-a| <δ.

Wenn du das δ aus der Def. vom isolierten Punkt wählst, gibt es nur ein

x∈D mit |x-a| <δ  nämlich das a selbst, und für dieses ist ja

|f(x)-f(a)| =  |f(a)-f(a)| = 0 < ε.