Zeigen Sie, dass die Menge n f : [a, b] → R f ist stetig

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Menge

f : [a, b] → R f ist stetig
einen unendlich-dimensionalen (d.h. nicht endlich erzeugbaren) Vektorraum bildet.

Comments

Was sind denn die einfachsten stetigen Funktionen die du so kennst?

Answer 1

Erst mal zeigen: U ist ein Vektorraum.

Das ist ein Unterraum des Vektorraumes aller

Funktionen f : [a, b] → R.

Zeige dazu:   0-Funktion gehört dazu und U ist abgeschlossen

gegenüber der Addition der Funktionen und der Multiplikation

mit reellen Zahlen. Dem ist so aufgrund der Sätze über die

Stetigkeit:  Summen stetiger Funktionen sind stetig

und Produkte mit reellen Zahlen auch.

Und da ja zumindest alle Funktionen der Art f : [a, b] → R, f(x)=x^n

mit n∈ℕ stetig sind und auch linear unabhängig sind,

ist also U unendlich-dimensional.