Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, darunter 0,1,2,3 oder 4 rote Kugel( n ) zu finden, wenn die Kugeln auf …

Question

Aufgabe:

Einer Urne mit 2 roten und 5 weißen Kugeln werden zufällig 4 Kugeln entnommen.

a) Wie gro \( \beta \) ist die Wahrscheinlichkeit, darunter \( 0,1,2,3 \) oder 4 rote Kugel( \( n \) ) zu finden, wenn die Kugeln auf einmal gezogen werden?

b) Wie gro \( \beta \) sind die unter a) zu bestimmenden Wahrscheinlichkeiten, wenn die gezogenen \( K u \) geln jewells vor dem Ziehen der nächsten Kugel wieder zurückgelegt werden?

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man sowas?

Comments

Seltsam, dass bei (a) nach 3 bzw. 4 roten Kugeln gefragt wird, wenn nur 2 davon in der Urne sind. Kann natürlich Absicht sein.

Answer 1

Hallo,

Baumdiagramme können bei dieser Art Aufgaben hilfreich sein.

a) Das entspricht 4 Ziehungen ohne Zurücklegen

b) ebenfalls 4 Ziehungen, jedoch mit Zurücklegen

Nun brauchst du nur noch die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zu addieren.

Gruß, Silvia

Comments

Baumdiagramme können bei dieser Art Aufgaben hilfreich sein.

Sie sind zwar hilfreich, kosten aber bei der Erstellung unnötig viel Zeit, wenn man kein Programm hat, welches die mühsame Arbeit erledigt.

Wenn man zufällig weiß, welcher Verteilung die Anzahl roter Kugeln folgt, dann ist das nur eine Formel.

Und da der Fragesteller bereits verschiedene Verteilungen, unter anderem die Normalverteilung bereits im Unterricht hatte, sollte auch die Binomialverteilung und die hypergeometrische Verteilung im Unterricht drangenommen worden sein.

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Ich gebe dir recht, aber Baumdiagramme sind so ziemlich das einzige, was ich zum Thema Wahrscheinlichkeit beisteuern kann, und ich musste sowieso meine Lizenz aktualisieren. Unabhängig davon hatte ich mir die letzten Fragen des FS gar nicht angesehen.

Answer 2

a)

Hypergeometrische Verteilung

P(X = k) = (2 über k)·(5 über 4 - k) / (7 über 4)

b)

Binomialverteilung

P(X = k) = (4 über k)·(2/7)^k·(5/7)^(4 - k)

Weiterführende Links zur Lektüre

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung
https://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verteilung

Answer 3

Es bezeichne \(R\) jeweils die Zufallsgröße der Anzahl der roten Kugeln:

(a)

\(P(R = k) =  \frac{\binom{2}{k}\binom{5}{4-k}}{\binom{7}{4}}\)

Beachte, dass hier für \(k\geq 3\) Null rauskommt.

(b)

Hier ist \(R\) binomialverteilt mit den Parametern \(n=4,\; p=\frac 27\). Also

\(P(R = k) =\binom 4k \left(\frac 27\right)^k\left(\frac 57\right)^{4-k}\)