Menge mit Folgen dicht in (0,∞)?

Question

Hallo,

ich habe eine Folge (b_n)_n∈ℕ = c, die eine Teilmenge von (0,∞) ist. Diese Folge ist unbeschränkt und monot. steigend.

Weiter ist M_b={ b_j / b_i | i,j∈ℕ} Menge aller Brüche, die mithilfe der Folgeglieder darstellbar ist.

Ich muss nun zeigen, dass für c∈ℕ die Folge b_k = kc die Menge M_b dicht in (0,∞) liegt.

Aber wie zeige ich nun, dass M dich in (0,∞) liegt?

Wir haben als Definition:

Sei (X, d_X ) ein metrischer Raum und  X₀ ⊂ X.

X₀ heißt dicht in X :⇔∀x∈X ∀ε>0 ∃x₀ ∈X₀ mit d_X(x,x₀)<ε.

Aber irgendwie kann ich damit nichts anfangen.

Kann mir hier bitte jemand helfen?

Vielen lieben danke im Voraus!

Comments

Ich habe überlegt, dass ich zeigen muss, dass der Abschluss von M gleich (0,∞) ist.

Also f.a. r∈(0,∞) ist der Grenzwert einer Folge in M.

Aber wie sieht die Folge von Elementen aus M aus, sodass die in (0,∞) konvergieren? - Wenn in dem Fall b_k = kc ist.

Ich habe bereits versucht mit den Brüchen in M zu hantieren, komme aber nicht weiter.

Ist meine Überlegung überhaupt richtig?