Berechnung eines Vektorpotentials

Question

Aufgabe:

Mein Vektorfeld ℝ^3 nach ℝ^3:

v (x,y,z) = ( sin(z) +6y^2

                -2x

                -3 cos(x).    )

Problem/Ansatz:

Hi, ich soll ein Vektorpotential in form von a = (0, a2 (x,y,z) , a3 (x,y,z) bestimmen mit stetig partiell differenzierteren Funktionen a2, a3 ℝ^3 nach ℝ.

Ich weiß, dass die rot von meinem Vektorpotential gleich meinem v entsprechen soll, jedoch fällt mir kein Ansatz an wie ich das heraus bekommen.

Vielen Dank falls mir jemand helfen kann :)

Answer 1

Aloha :)

Die Rotation von \(\vec a=(0;a_2;a_3)^T\) muss gleich \(\vec v\) sein:$$\begin{pmatrix}\sin z+6y^2\\-2x\\-3\cos x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\a_2\\a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\partial_ya_3-\partial_za_2\\-\partial_xa_3\\\partial_xa_2\end{pmatrix}$$Die Gleichungen für die zweite und dritte Komponente integrieren wir nach \(x\):$$-\partial_xa_3=-2x\implies\partial_xa_3=2x\implies a_3=x^2+c_3(y;z)$$$$\partial_xa_2=-3\cos x\implies a_2=-3\sin x+c_2(y;z)$$Die Integration"konstanten" \(c_2(y;z)\) und \(c_3(y;z)\) müssen nur bezüglich der partiellen Ableitung nach \(x\) konstant sein und dürfen daher noch von \(y\) und \(z\) abhängen.

Diese beiden Beziehungen setzen wir in die erste Komponente ein:$$\sin z+6y^2=\partial_y(x^2+c_3(y;z))-\partial_z(-3\sin x+c_2(y;z))=\partial_y c_3(y;z)-\partial_zc_2(y;z)$$Da wir \(c_2\) und \(c_3\) frei wählen können, machen wir es uns einfach:$$\sin z=-\partial_zc_2(y;z)\implies c_2(y;z)=\cos z+C_2(y)$$$$6y^2=\partial_yc_3(y;z)\implies c_3(y;z)=2y^3+C_3(z)$$Die neuen Integrations"konstanten" \(C_2(y)\) und \(C_3(z)\) setzen wir gleich \(0\), sodass wir ein mögliches Vektorpotential gefunden haben:$$\vec a(x;y;z)=\begin{pmatrix}0\\-3\sin x+\cos z\\x^2+2y^3\end{pmatrix}$$