Zeige ein Additionstheorem

Question

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\( \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{2 \pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{3 \pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{4 \pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{6 \pi}{6}\right)=\frac{1}{\tan \left(\frac{\pi}{12}\right)} \)

Answer 1

Was da steht lässt sich auch so schreiben:

$$\sum_{k=1}^6\sin \left(\frac{\pi}6 k\right) = \operatorname{Im} \left(\underbrace{\sum_{k=1}^6 e^{i\frac{\pi}6 k}}_{s:=}\right)$$

Betrachte also

$$s=e^{i\frac{\pi}6}\sum_{k=0}^5 e^{\frac{\pi}6 k}=e^{i\frac{\pi}6}\frac{1-\overbrace{e^{i\pi}}^{-1}}{1-e^{i\frac{\pi}6}}=\frac{2}{e^{-i\frac{\pi}6}-1}$$ $$=\frac{2}{|e^{-i\frac{\pi}6}-1|^2}\left(e^{i\frac{\pi}6}-1\right)$$

Damit ist

$$ \operatorname{Im} s = \frac{2\sin \frac{\pi}6}{\left(\cos \frac{\pi}6 -1\right)^2 + \sin^2 \frac{\pi}6} = \frac{\sin \frac{\pi}6}{1 - \cos \frac{\pi}6}$$$$= \frac{2\sin \frac{\pi}{12}\cos \frac{\pi}{12}}{2 \sin^2 \frac{\pi}{12}} =\boxed{\frac 1{\tan \frac{\pi}{12} }}$$

Comments

Ja, dieser Weg ist auch schön.

Answer 2

Die 6 Summanden sollten bekannt sein:

0,5+ 0,5\( \sqrt{3} \)+ 1 + 0,5\( \sqrt{3} \) + 0,5 + 0,

die Summe ist somit 2+\( \sqrt{3} \).

Der linke Term ist cos(π/12) / sin(π/12).

Zähler und Nenner können aus den bekannten(?!?) Werten von cos(π/6) bzw. sin(π/6) mit Hilfe der Halbwinkelformel berechnet werden.