Additionstheorem für den Cosinus, zeige dass Folgendes wahr ist

Question

Zeigen Sie, dass Folgendes wahr ist:

\( -\sin \left(-2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x) \)
Hinweis: Verwenden Sie das Additionstheorem für den Cosinus.

Cosinus Additionstheorem:

cos x + cos y= cos x * cos y - sin x * sin y

cos x - cos y= cos x * cos y + sin x * sin

Problem/Ansatz:

könnte mir hier wer weiterhelfen wie das Beweise?

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom{=}-\sin\left(-2\left(x+\frac\pi4\right)\right)\stackrel{(1)}{=}\sin\left(2\left(x+\frac\pi4\right)\right)=\sin\left(2x+\frac\pi2\right)\stackrel{(2)}{=}\cos\left(\frac\pi2-\left(2x+\frac\pi2\right)\right)$$$$=\cos(-2x)\stackrel{(3)}{=}\cos(2x)=\cos(x+x)\stackrel{(4)}{=}\cos^2x-\sin^2x$$

Dabei habe ich verwendet:$$(1)\quad\sin(-x)=-\sin(x)\quad\text{(Sinus-Funktion ist ungerade)}$$$$(2)\quad\sin(x)=\cos\left(\frac\pi2-x\right)\quad\text{(Übergang zum Komplementärwinkel)}$$$$(3)\quad\cos(-x)=\cos(x)\quad\text{(Cosinus-Funktion ist gerade)}$$$$(4)\quad\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\quad\text{(Additionstheorem für Cosinus-Funktion)}$$