Aufgabe:
Es sei \( V \) ein \( n \)-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Eine Spiegelung (an einer Hyperebene) auf \( V \) ist eine lineare Isometrie
\( \sigma_{a}: V \rightarrow V, x \mapsto x-2\langle x, a\rangle a \)
a) Wir betrachten die Drehung \( \rho: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, x \mapsto A x \) mit \( A_{\omega}=\left(\begin{array}{cc}\cos \omega & -\sin \omega \\ \sin \omega & \cos \omega\end{array}\right) \) für einen Winkel \( \omega \in(0, \pi) \). Finden Sie zwei Spiegelungen \( \sigma_{1}, \sigma_{2} \) mit \( \sigma_{1} \circ \sigma_{2}=\rho \).
b) Sei nun \( \Phi: V \rightarrow V \) eine lineare Isometrie, \( U \subset V \) ein \( \Phi \)-invarianter Untervektorraum und \( B \) eine Orthonormalbasis von \( U \), sodass \( M_{B}^{B}\left(\left.\Phi\right|_{u}\right)=A_{\omega} \) ist. Finden Sie zwei Spiegelungen \( \sigma_{1}, \sigma_{2} \) auf \( V \), sodass für \( \Psi=\sigma_{1} \circ \sigma_{2} \circ \Phi \) gilt
\( \left.\Psi\right|_{U}=\operatorname{id}_{U} \quad \text { und }\left.\quad \Psi\right|_{U^{\perp}}=\left.\Phi\right|_{U^{\perp}} . \)
c) Zeigen Sie mithilfe der euklidischen Normalform, dass es für jede Isometrie \( \Phi: V \rightarrow V \) ein \( k \in\{0, \ldots, n\} \) und Vektoren \( a_{1}, \ldots, a_{k} \in V \) gibt, sodass
\( \Phi=\sigma_{a_{1}} \circ \sigma_{a_{2}} \circ \cdots \circ \sigma_{a_{k}} \)
ist, ein Produkt von Spiegelungen an den Hyperebenen \( \left[a_{i}\right]^{\perp} \).
Problem/Ansatz:
Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter …
