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Aufgabe:

Es sei V V ein n n -dimensionaler euklidischer Vektorraum. Eine Spiegelung (an einer Hyperebene) auf V V ist eine lineare Isometrie
σa : VV,xx2x,aa \sigma_{a}: V \rightarrow V, x \mapsto x-2\langle x, a\rangle a

a) Wir betrachten die Drehung ρ : R2R2,xAx \rho: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, x \mapsto A x mit Aω=(cosωsinωsinωcosω) A_{\omega}=\left(\begin{array}{cc}\cos \omega & -\sin \omega \\ \sin \omega & \cos \omega\end{array}\right) für einen Winkel ω(0,π) \omega \in(0, \pi) . Finden Sie zwei Spiegelungen σ1,σ2 \sigma_{1}, \sigma_{2} mit σ1σ2=ρ \sigma_{1} \circ \sigma_{2}=\rho .

b) Sei nun Φ : VV \Phi: V \rightarrow V eine lineare Isometrie, UV U \subset V ein Φ \Phi -invarianter Untervektorraum und B B eine Orthonormalbasis von U U , sodass MBB(Φu)=Aω M_{B}^{B}\left(\left.\Phi\right|_{u}\right)=A_{\omega} ist. Finden Sie zwei Spiegelungen σ1,σ2 \sigma_{1}, \sigma_{2} auf V V , sodass für Ψ=σ1σ2Φ \Psi=\sigma_{1} \circ \sigma_{2} \circ \Phi gilt
ΨU=idU und ΨU=ΦU. \left.\Psi\right|_{U}=\operatorname{id}_{U} \quad \text { und }\left.\quad \Psi\right|_{U^{\perp}}=\left.\Phi\right|_{U^{\perp}} .

c) Zeigen Sie mithilfe der euklidischen Normalform, dass es für jede Isometrie Φ : VV \Phi: V \rightarrow V ein k{0,,n} k \in\{0, \ldots, n\} und Vektoren a1,,akV a_{1}, \ldots, a_{k} \in V gibt, sodass
Φ=σa1σa2σak \Phi=\sigma_{a_{1}} \circ \sigma_{a_{2}} \circ \cdots \circ \sigma_{a_{k}}
ist, ein Produkt von Spiegelungen an den Hyperebenen [ai] \left[a_{i}\right]^{\perp} .


Problem/Ansatz:

Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter …

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1 Antwort

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Hallo

mach doch mal 2 Spiegelungen mit a und b, dann stelle fest, um welchen Winkel gedreht wurde. Erst kannst du das ja mal zeichnerisch machen,

die Drehung ist um den doppelten Winkel der zwischen den Spiegelachsen liegt

Gruß lul

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