Finden Sie zwei Spiegelungen \sigma1, \sigma2 mit \sigma1 \circ \sigma2=\rho .

Question

Aufgabe:

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Eine Spiegelung (an einer Hyperebene) auf $V$ ist eine lineare Isometrie
$\sigma_{a}: V \rightarrow V, x \mapsto x-2\langle x, a\rangle a$

a) Wir betrachten die Drehung $\rho: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, x \mapsto A x$ mit $A_{\omega}=\left(\begin{array}{cc}\cos \omega & -\sin \omega \\ \sin \omega & \cos \omega\end{array}\right)$ für einen Winkel $\omega \in(0, \pi)$. Finden Sie zwei Spiegelungen $\sigma_{1}, \sigma_{2}$ mit $\sigma_{1} \circ \sigma_{2}=\rho$.

b) Sei nun $\Phi: V \rightarrow V$ eine lineare Isometrie, $U \subset V$ ein $\Phi$-invarianter Untervektorraum und $B$ eine Orthonormalbasis von $U$, sodass $M_{B}^{B}\left(\left.\Phi\right|_{u}\right)=A_{\omega}$ ist. Finden Sie zwei Spiegelungen $\sigma_{1}, \sigma_{2}$ auf $V$, sodass für $\Psi=\sigma_{1} \circ \sigma_{2} \circ \Phi$ gilt
$\left.\Psi\right|_{U}=\operatorname{id}_{U} \quad \text { und }\left.\quad \Psi\right|_{U^{\perp}}=\left.\Phi\right|_{U^{\perp}} .$

c) Zeigen Sie mithilfe der euklidischen Normalform, dass es für jede Isometrie $\Phi: V \rightarrow V$ ein $k \in\{0, \ldots, n\}$ und Vektoren $a_{1}, \ldots, a_{k} \in V$ gibt, sodass
$\Phi=\sigma_{a_{1}} \circ \sigma_{a_{2}} \circ \cdots \circ \sigma_{a_{k}}$
ist, ein Produkt von Spiegelungen an den Hyperebenen $\left[a_{i}\right]^{\perp}$.

Problem/Ansatz:

Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter …

Answer 1

Hallo

mach doch mal 2 Spiegelungen mit a und b, dann stelle fest, um welchen Winkel gedreht wurde. Erst kannst du das ja mal zeichnerisch machen,

die Drehung ist um den doppelten Winkel der zwischen den Spiegelachsen liegt

Gruß lul