Aufgabe:
Es sei V ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Eine Spiegelung (an einer Hyperebene) auf V ist eine lineare Isometrie
σa : V→V,x↦x−2⟨x,a⟩a
a) Wir betrachten die Drehung ρ : R2→R2,x↦Ax mit Aω=(cosωsinω−sinωcosω) für einen Winkel ω∈(0,π). Finden Sie zwei Spiegelungen σ1,σ2 mit σ1∘σ2=ρ.
b) Sei nun Φ : V→V eine lineare Isometrie, U⊂V ein Φ-invarianter Untervektorraum und B eine Orthonormalbasis von U, sodass MBB(Φ∣u)=Aω ist. Finden Sie zwei Spiegelungen σ1,σ2 auf V, sodass für Ψ=σ1∘σ2∘Φ gilt
Ψ∣U=idU und Ψ∣U⊥=Φ∣U⊥.
c) Zeigen Sie mithilfe der euklidischen Normalform, dass es für jede Isometrie Φ : V→V ein k∈{0,…,n} und Vektoren a1,…,ak∈V gibt, sodass
Φ=σa1∘σa2∘⋯∘σak
ist, ein Produkt von Spiegelungen an den Hyperebenen [ai]⊥.
Problem/Ansatz:
Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter …